Application de courants géodésiques à la géométrie des surfaces

Application of geodesic currents to the geometry of surfaces

• Auteur / Autrice : Marie Trin
• Direction : Juan Souto
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 10/06/2024
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MATISSE
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Vincent Guirardel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Juan Souto, Viveka Erlandsson, Jing Tao
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bram Petri, Jean-Marc Schlenker

Mots clés

Mots clés contrôlés

Teichmüller, Espaces de

Géodésiques (mathématiques)

Surfaces (mathématiques)

Mots clés libres

Surfaces hyperboliques

Courants géodésiques

Problèmes de comptage

Espace de Teichmüller

Hyperbolic surfaces

Geodesic currents

Counting problems

Teichmüller space

Résumé

Soit Z une surface de type fini et de caractéristique d'Euler strictement négative. Un courant géodésique sur Z est une mesure de Radon, stable par l'action du groupe fondamentale, sur les géodésiques non- orientées et bi-infinies du revêtement universel de Z. Cette notion a été introduite par F.Bonhaon en 1986 et a depuis eu de nombreuses applications à l'étude de la géométrie des surfaces. On s'intéresse ici à deux applications de cette notion: l'étude de la compactification de l'espace de Teichmüller et les problèmes de comptage de courbes. Le premier chapitre de ce manuscrit est dédié aux définitions et propriétés fondamentales nécessaires. Le chapitre 2 traite de la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, en particulier, on prouve que la méthode de Bonahon par les courants géodésiques peut être adaptée aux surfaces non-compactes d'aire finie. Ce chapitre démontre aussi des résultats sur les suites de géodésiques aléatoires. Les deux chapitres suivant sont dédiés à des problèmes de comptage de géodésiques. Dans le chapitre 3 on montre que l'on peut compter les arcs d'une surface à bords à l'aide de suites convergentes de mesures sur les courants géodésiques. Puis, le chapitre 4 est dédié aux différentes ouvertures qu'offrent ce manuscrit. La principale étant le comptage des orbites pour l'action des sous-groupes du mapping class group sur les courbes.

Let Z be a finite surface with negative Euler characteristic. A geodesic current on Z is a Radon measure on the set of bi-infinite unoriented geodesics of the universal cover of Z which is stable by the action of the fundamental group. This notion has been introduced by F.Bonahon in 1986 and has since proven to be a fertile concept in the study of geometry of surfaces. In this thesis we are interested in two main applications of geodesic currents: the compactification of Teichmüller space and counting problems in surfaces. The first chapter is dedicated to the necessary definitions and properties. Chapter 2 deals with Thurston compactification of Teichmüller space. Especially, we will prove that the method developed by Bonahon using geodesic currents can be extended for non-compact surfaces of finite area. This chapter also contains some results about sequences of random geodesics. The last two chapters focus on counting problems. In chapter 3 we prove that arcs in surfaces with boundary can be counted thanks to sequences of measures on geodesic currents. Hence, chapter 4 is dedicated to the different perspectives associated to this manuscipt. The main one being to count elements in the orbits for the action of subgroups of mapping class groups on curves.