Sur le problème de réflexion et sélection pour les EDS singuliers avec un bruit fractionnaire

On the reflection and selection problem for singular fractional SDEs

• Auteur / Autrice : Lukasz Madry
• Direction : Paul Gassiat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2024
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Laure Coutin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Gassiat, Laure Coutin, Fabien Panloup, Samy Tindel, Alexandre Richard, Stéphane Menozzi, Francesco Russo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabien Panloup, Samy Tindel
• DOI : 10.70675/35568ca3zd3a8z478fz9194z5ee9c66944d0

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse stochastique

Processus de mouvement brownien

Théorie du bruit aléatoire

Mots clés libres

Régularisation par bruit

Mouvement brownien fractionnaire

Sélection par bruit

Problème de Skorohod

Regularisation by noise

Fractional Brownian motion

Selection by noise

Skorohod problem

Résumé

Dans cette thèse nous étudions trois problèmes liés au phénomène de régularisation par un bruit fractionnaire, c'est-a-dire l'équation différentielle stochastique :dxt = b(xt)dt + dW Ht où W H est un mouvement brownien fractionnaire et b est une fonction irrégulière, possiblement une distribution. Dans le premièr chapitre, nous étudions cette équation avec la contrainte additionnelle :dxt = b(xt)dt + dW Ht + dKt Où dK est une perturbation qui est également une fonction de la trajectoire, par exemple la mesure de réflexion. Nous montrons l'unicité de solutions de cette équation en utilisant des techniques similaires à celles employées par Catellier Gubinelli. Dans le deuxième chapitre nous étudions la limite de zéro bruit pour la même équation, ou b est une fonction de puissance singulière en dimension un. C’est lie à un exemple de Peano et à un problème de sélection venant de la mécanique des fluides. Nous établissons la convergence vers une de deux solutions qui partent immédiatement de l’origine en employant des techniques venant de l'étude des EDS fractionnaires. Dans le troisième chapitre nous présentons les travaux en cours pour la même question, mais en dimension 2. En particulier, la fonction b peut disparaître sur certaines parties de domaines. Dans ce cas, il faut construire le temps tel que le système reviendra vers le domaine { b > 0}. Nous utilisons des méthodes similaires à celles du chapitre deux, mais nous n'arrivons qu'à établir des résultats partiels. Nous présentons des conjectures et les étapes possibles pour obtenir le résultat souhaité.

In this thesis we study three problems related to the phenomenon of regularisation by fractional noise, i.e. stochastic differential equations:dxt = b(xt)dt + dW Htwhere W H is a fractional Brownian motion and b is an irregular function, possibly distribution. In the first chapter we study well-posedness of this equation with additional constraints :dxt = b(xt)dt + dW Ht + dKt where dK is some path-dependent perturbation, for instance a reflection measure. We prove the well-posedness of this equation using similar techniques to the ones used by Catellier-GubinelliIn the second chapter we study zero-noise limit of the same equation, where b is a power-law singular function, i.e.b(x) = sgn (x)|x|γ. We consider the one-dimensional system. This is related to a well-known Peano example, and a selection problem appearing in the mathematical study of fluid dynamics. Techniques coming from the study of ergodic properties of fractional SDEs allow us to establish convergence to one of two solutions leaving the starting points.In the third chapter we present work in progress on the same question, but in two dimensions. In particular the function bis allowed to disappear on certain parts of the domain. To this end one needs to establish the time after which the system will come back to the area such that {b > 0}. We use similar techniques to the ones used in the previous chapter, but manage only to show partial results. We present some conjectures and possible steps to achieve full results.