Étude des équations d’Euler-Korteweg

Study of the Euler-Korteweg

• Auteur / Autrice : Marc-Antoine Vassenet
• Direction : Boris Haspot, Corentin Audiard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 24/06/2024
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Charve
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Boris Haspot, Corentin Audiard, Frédéric Charve, Ingrid Lacroix-Violet, David Chiron, Valeria Banica, Guillaume Legendre, Philippe Gravejat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ingrid Lacroix-Violet, David Chiron

Mots clés

Mots clés contrôlés

Euler, Équations d'

Korteweg-de Vries, Équation de

Mécanique des fluides

Mots clés libres

Mécanique des fluides

Solitons

Couche limite

Dispersion

Solutions faibles

Stabilité

Fluid mechanics

Solitons

Boundary layer

Dispersion

Weak solutions

Stability

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons à divers aspect de l'équation d'Euler-Korteweg, équation de la mécanique des fluides. Dans un premier temps nous étudions la convergence des solitons dans la limite transonique vers les solutions de l'équation de Kadomstev-Petishveveli, après changement d'échelle en dimension deux. Ensuite, toujours en dimension deux nous étudions la stabilité des solutions de l'équation quantique d'Euler, à l'aide de la transformée de Madelung. Finalement dans la dernière partie nous étudions la limite des solutions quand la capillarité tend vers 0, sur tout l'espace et le demi-espace en dimension trois. Nous construisons un développement BKW de l'équation à tous ordre dans l'espace R3 dont nous prouvons la validité, puis nous construisons les premiers termes de ce développement sur le demi-espace dans le cadre de conditions au bord de type Dirichlet-Neuman et mettons en évidence l'existence d'une couche limite.

In this thesis, we delve into various aspects of the Euler-Korteweg equation, a fluid mechanics equation. Firstly, we examine the convergence of solitons in the transonic limit towards solutions of the Kadomstev-Petviashvili equation, following a rescaling in two dimensions. Subsequently, still in two dimensions, we investigate the stability of solutions of the quantum Euler equation using the Madelung transform. Finally, in the last part, we explore the limit of solutions as capillarity tends to 0, both in three-dimensional space and in the half-space. We construct a (BKW) expansion of the equation to all orders in the space R3, proving its validity. Additionally, we build the initial terms of this expansion in the half-space under Dirichlet-Neumann boundary conditions and highlight the existence of a boundary layer.