Étude des propagations épidémiques à l'aide des jeux à champ moyen
Auteur / Autrice : | Louis Brémaud |
Direction : | Denis Ullmo, Olivier Giraud |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Physique |
Date : | Soutenance le 16/12/2024 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | Physique en Ile de France |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (Orsay, Essonne ; 1998-....) |
Référent : Faculté des sciences d'Orsay | |
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Physique (2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Alain Barrat |
Examinateurs / Examinatrices : Gabriel Turinici, Sergio Gómez Jiménez, Marc Barthelemy, Laura Di Domenico | |
Rapporteur / Rapporteuse : Gabriel Turinici, Sergio Gómez Jiménez |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse explore l'intégration du comportement humain dans la modélisation épidémique. La pandémie de Covid-19 a mis en évidence l'importance du facteur humain dans les modèles épidémiques, à la fois par les réponses spontanées des individus face à l'épidémie et par les mesures restrictives mises en place par les autorités. Ces effets créent une boucle de rétroaction qui influence à son tour l'évolution de l'épidémie. Cependant, la plupart des modèles actuels utilisés pour les prévisions épidémiques ne prennent pas en compte ce facteur humain dans la boucle, le traitant plutôt comme un paramètre externe. Dans cette thèse, nous étudions le paradigme des jeux à champ moyen (Mean Field Games, MFGs), qui offre un cadre prometteur pour intégrer le comportement humain dans les modèles épidémiques. Notre objectif est de progressivement combler l'écart entre cette approche théorique et de potentielles utilisations pratiques. Concrètement, cela consiste en deux étapes : implémenter le cadre des MFG dans des modèles épidémiologiques utilisés aujourd'hui, et évaluer la pertinence d'une éventuelle application pratique : les comportements prédits par le modèle sont-ils cohérents avec ceux attendus ? Quels types de questions pouvons-nous adresser en pratique ? Quels sont les paramètres clés qu'il s'agira d'évaluer correctement ? La première partie de la thèse applique l'approche MFG à un modèle compartimental SIR accompagné d'une structure sociale, où les individus arbitrent entre le risque lié à l'infection et les coûts associés à la réduction des contacts sociaux. Une fois implémenté, nous simulons numériquement ce modèle avec un jeu de paramètres réalistes afin d'évaluer le comportement que pourrait avoir notre modèle en pratique. Un équilibre de Nash, résultant de l'optimisation égoïste des individus, est établi et résolu numériquement. Il est comparé à l'optimum social, qui correspond à une stratégie optimale où chacun coopère pour minimiser les coûts sociétaux. L'écart entre ces deux scénarios est en partie réduit en résolvant des équilibres de Nash sous contraintes, qui intègrent des interventions gouvernementales. Enfin, nous explorons d'autres stratégies collectives pour mettre fin à une épidémie. Nous montrons que des changements dans la taille de la population ou dans la durée du jeu peuvent conduire à des transitions de phase du premier ordre parmi les stratégies optimales du point de vue sociétal. Dans la seconde partie de la thèse, nous appliquons les MFG à des réseaux complexes, où les individus sont classés selon leur nombre de connexions (degré). Nous dérivons d'abord la dynamique des quantités épidémiques macroscopiques sur des réseaux en utilisant l'approximation par paires, puis nous implémentons l'approche MFG. Nous simulons le modèle avec un réseau de contacts réaliste puis nous étudions l'impact de la forme du coût social sur l'équilibre de Nash. Nos résultats révèlent d'importantes variations des comportements individuels selon leur degré ou la forme du coût choisie. Enfin, dans un projet annexe, nous dérivons une solution analytique implicite du modèle SIR sur des réseaux réguliers de degré k quelconque. Dans la limite SIR, nous dérivons une nouvelle formulation de résultats analytiques connus, apportant de nouveaux éclairages. L'implémentation des MFG apparaît réalisable et flexible dans la plupart des modèles d'épidémiologie utilisés aujourd'hui. Cette approche permet l'émergence de comportement dynamiques réalistes et permet d'adresser de nombreuses questions relatives aux restrictions d'un point de vue quantitatif. Au delà de recherches supplémentaires concernant les coûts associés à l'infection et à la réduction des contacts, la connaissance de la structure sociale et l'horizon temporel choisi semblent être des critères déterminants dans l'établissement de l'équilibre de Nash.