Sur la cohomologie motivique des schémas en caractéristique mixte

On the motivic cohomology of mixed characteristic schemes

• Auteur / Autrice : Tess Bouis
• Direction : Matthew Morrow
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 26/09/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Dustin Clausen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacob Lurie, Georg Tamme, Ahmed Abbes, Denis-Charles Cisinski, Wiesława Nizioł
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jacob Lurie, Georg Tamme

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

K-théorie

Cohomologie p-adique

Mots clés libres

Cohomologie motivique

K-théorie algébrique

Géométrie p-adique

Motivic cohomology

Algebraic K-theory

P-adic geometry

Résumé

Dans cette thèse, nous construisons une théorie de cohomologie motivique pour les schémas quasi-compacts quasi-séparés, qui généralise la construction d'Elmanto-Morrow dans le cas des schémas au-dessus d'un corps. Notre construction n'est pas A¹-invariante en général, mais elle utilise la cohomologie motivique classique A¹-invariante des schémas lisses sur ℤ. La nouveauté principale de notre construction est la définition et l'étude d'une filtration globale sur l'homologie cyclique topologique, dont les parties graduées unifient la cohomologie syntomique de Bhatt-Morrow-Scholze et la cohomologie de de Rham dérivée. Nous établissons un grand nombre des propriétés attendues de la cohomologie motivique, notamment une suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch vers la K-théorie algébrique non-connective, la formule des fibrés projectifs et la descente pro cdh. Les résultats du Chapitre 11 sont ceux de [Bou23].

In this thesis, we construct a theory of motivic cohomology for quasi-compact quasi-separated schemes, which generalises the construction of Elmanto-Morrow in the case of schemes over a field. Our construction is non-A¹-invariant in general, but it uses the classical A¹-invariant motivic cohomology of smooth ℤ-schemes as an input. The main new input of our construction is a global filtration on topological cyclic homology, whose graded pieces provide a common generalisation of derived de Rham cohomology and Bhatt-Morrow-Scholze's syntomic cohomology. Our theory satisfies various expected properties of motivic cohomology, including a relation to non-connective algebraic K-theory via an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, the projective bundle formula, and pro cdh descent. The results of Chapter 11 have appeared as [Bou23].