Applications géométriques de la méthode d'équivalence d'Elie Cartan

Geometric applications of the Elie Cartan's equivalence method

• Auteur / Autrice : Julien Heyd
• Direction : Joël Merker
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 21/06/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Alexandre Sukhov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francis Valiquette, Masoud Sabzevari, Boris Kolev, Karl Oeljeklaus, Michel Petitot
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Francis Valiquette, Masoud Sabzevari

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes différentiels extérieurs

Groupes de Lie

Lie, Algèbres de, de dimension infinie

Représentations d'algèbres de Lie

Identité de Jacobi

Lie, Algèbres de

Mots clés libres

Groupes et algébres de Lie

Méthode d'équivalence de Cartan

Systèmes différentiels extérieurs

Lie groups and Lie algebras

Cartan's equivalence method

Exterior differential systems

Résumé

L'apport principal de cette thèse est l'élaboration d'une nouvelle méthode d'équivalence, algorithmique, en partie inspirée de celle d’Élie Cartan, et applicable aux groupes de Lie de dimensions finie ou infinie. Ses résultats techniques reposent sur plusieurs centaines de fichiers de calculs réalisés à l'aide du logiciel de calcul formel Maple. Le mémoire se compose de 7 chapitres, dont 6 sont consacrés à des problèmes de classification, et 1 à une forme normale <<à la Moser>>.(1) Une classification des hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 affinement homogènes de Hessienne de rang 1 en dimensions n=2,3,4.On détermine toutes les hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 à l'aide de la méthode d'équivalence des séries entières, qui capture les invariants à l'origine, qui crée des branches, et qui infinitésimalise les calculs. On trouve 6 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes.(2) Une (autre) classification des surfaces S2⊂ℂ3 affinement homogènes.En utilisant la même méthode, on détermine toutes les surfaces homogènes S2⊂ℂ3, qui capture les invariants à l'origine, qui crée des branches, et qui infinitésimalise les calculs. On trouve 12 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes.(3) Une classification des surfaces S2⊂ℝ4 affinement homogènes.Avec la même méthode, on détermine toutes les surfaces S2⊂ℝ4 qui sont affinement homogènes. On trouve 103 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes de surfaces S2⊂ℝ4, dont certaines sont paramétrées par des variétés algébriques réelles, notamment dans le cas simplement transitif.(4) Une classification des hypersurfaces S3⊂ℝ4 affinement homogènes de Hessienne de rang 2.En appliquant toujours la même méthode, on trouve 34 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes de surfaces S3⊂ℝ4 à matrice hessienne de rang 2. A nouveau, les modèles simplement transitifs sont souvent paramétrés par des variétés algébriques réelles.(5) Une forme normale locale pour les équations différentielles ordinaires du 2nd ordre sous l'action de transformations préservant la fibre.On étudie le problème d'équivalence des équations différentielles ordinaires du second ordre analytiques réellesyxx=J(x,y,yx) modulo les transformations ponctuellespréservant les fibres x→φ(x), y→ψ(x,y) en utilisant la méthode des formes normales de Moser.(6) Une (autre) classification des équations différentielles ordinaires du 2nd ordre homogènes sous l'action de transformations préservant la fibre.On détermine toutes les équations différentielles ordinaires du 2nd ordre sous l'action de transformations préservant la fibre à l'aide de la méthode d'équivalence des séries entières. Dans ce contexte délicat, le groupe d'ambiguïté est de dimension infinie. On trouve 7 branches terminalesfournissant des (familles de) modèles homogènes, qui peuvent être paramétrées par une certaine variété algébrique.(7) Une classification des EDP du 2nd ordre de dimension 5 homogènes sous l'action de transformations préservant la fibre.Toujours avec une adaptation de la méthode d'équivalence des séries entières au contexte de la dimension infinie, on trouve 24 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes multiplement transitifs.

The main contribution of this Ph.D. thesis is the elaboration of a new equivalence method, algorithmic, partly based on the Elie Cartan method, and applicable to Lie groups of finite or infinite dimensions. Its technical results are based on hundreds of calculation files, made using the Maple formal computing software. The thesis consists of 7 chapters, 6 of which are problem-oriented classifications, and 1 to a normal form ``à la Moser''.(1) A classification of Hessian rank 1 affinely homogeneous hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 in dimensions n=2,3,4.All homogeneous hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 are determined using of the power series equivalence method, which captures the invariants at the origin, which creates branches, and which infinitesimalizes the calculations. There are 6 terminal branches providing (families of) homogeneous models.(2) Another classification of affinely homogeneous surfaces S2⊂ℂ3.All homogeneous surfaces S2⊂ℂ3 are determined using of the power series equivalence method, which captures the invariants at the origin, which creates branches, and which infinitesimalizes the calculations. There are 12 terminal branches providing (families of) homogeneous models.(3) A classification of affinely homogeneous surfaces S2⊂ℝ4.Using the same method, we determine all surfaces S2⊂ℝ4 which are affinely homogeneous.There are 103 terminal branches providing homogeneous (families of) surface models, some of which are parameterized by real algebraic varieties, especially in the case of simply transitive.(4) A classification of affinely homogeneous hypersurfaces S3⊂ℝ4 of constant rank 2 Hessian.By always applying the same method, we find 34 terminal branches providing (families of) homogeneous surface models S3⊂ℝ4 of rank 2 Hessian matrix. Again, simply transitive models are often parameterized by real algebraic varieties.(5) A local normal form for the ordinary differential equations of 2nd order under the action of fiber-preserving point transformations.We study the equivalence problem of real analytic second order ordinary differential equationsyxx=J(x,y,yx) under fiber-preserving transformations x→φ(x), y→ψ(x,y) using the Moser normal form method.(6) Another classification of homogeneous 2nd order ordinary differential equations under the action of fiber-preserving point transformations.All 2nd order ordinary differential equations are determined under the action of fiber-preserving transformations using the equivalence method of power series. In this delicate context, the ambiguity group is of infinite dimension. There are 7 terminal branches providing homogeneous (families of) models, which can be parameterized by a certain algebraic variety.(7) A classification of homogeneous 2nd order 5-dimensional PDEs under the action of fiber preserving point transformations.Still with an adaptation of the method of equivalence of the power series to the context of the infinite dimension, we find 24 terminal branches providing (families of) homogeneous multiply transitive models.