Algorithmes guidés par la géométrie pour la résolution efficace d'équations fonctionnelles en combinatoire

Geometry-driven algorithms for the efficient solving of combinatorial functional equations

• Auteur / Autrice : Hadrien Notarantonio
• Direction : Alin Bostan, Frédéric Chyzak, Mohab Safey El Din
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 28/06/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Saclay, Ile-de-France)
• Jury : Président / Présidente : Lucia Di Vizio
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gilles Schaeffer, Michael E. Stillman, Mireille Bousquet-Mélou, Dorin Popescu
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Gilles Schaeffer, Michael E. Stillman

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations fonctionnelles

Analyse combinatoire énumérative

Calcul formel

Mots clés libres

Équations fonctionnelles

Séries formelles

Calcul formel

Combinatoire

Functional equations

Ormal power series

Computer algebra

Combinatorics

Résumé

Cette thèse se situe à l'intersection du calcul formel et de la combinatoire énumérative.À partir d'un problème d'énumération donné, une idée bien connue en combinatoire énumérative consiste à transformer le problème d'énumération en une équation fonctionnelle impliquant la fonction génératrice associée à l'énumération.Dans certains problèmes de dénombrement sophistiqués apparaissent également des systèmes d'équations fonctionnelles. L'objectif est d'étudier ces équations fonctionnelles afin d'en déduire des informations sur le problème de dénombrement initial.Un résultat célèbre de Bousquet-Mélou et Jehanne (2006) stipule que lorsque ces équations sont d'une forme particulière, ses solutions formelles sont annulées par des polynômes non nuls. De plus, ils fournissent un premier algorithme pour calculer de tels polynômes.Dans cette thèse, nous nous appuyons sur des résultats classiques de calcul formel afin d'analyser et de comparer (c'est-à-dire avec des estimations quantitatives) les algorithmes de l'état de l'art. Sur la base de ces analyses théoriques, nous concevons ensuite des algorithmes géométriques efficaces pour calculer ces polynômes.Les nouveaux algorithmes sont ensuite implémentés dans un logiciel: cela permet de résoudre des problèmes qui étaient auparavant hors de portée par des approches automatisées. Enfin, nous étendons l'état de l'art au cas des systèmes d'équations fonctionnelles, avec quelques vues dans la direction de la théorie de l'approximation d'Artin.

This thesis lies at the intersection of computer algebra and enumerative combinatorics.From a given enumeration problem, a well known habit in enumerative combinatorics consists in turning the enumeration problem into a functional equation involving the generating function associated to the enumeration. In some sophisticated enumeration problems also appear systems of functional equations.The goal is to study these functional equations in order to deduce informations on the initial enumeration problem.A celebrated result of Bousquet-Mélou and Jehanne (2006) states that when these functional equations possess a particular shape, their solutions are unique and are annihilated by nonzero polynomials. They also provide a first algorithm for computing such polynomials.In this thesis, we rely on classical results from computer algebra in order to analyze and compare (i.e. with quantitative estimates) the state-of-the-art algorithms. Based on these theoretical analyses, we then design efficient geometry-driven algorithms for computing these annihilating polynomials. The new algorithms are then implemented in a software: this makes it possible to solve previously out-of-reach problems via automated approaches. Last but not least, we extend the state-of-the-art to the case of systems of functional equations, with some views in the direction of Artin's approximation theory.