Programme de Langlands modulo p et compatibilité local-global pour GL₂

Mod p Langlands program and local-global compatibility for GL₂

• Auteur / Autrice : Yitong Wang
• Direction : Christophe Breuil, Ariane Mézard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 24/06/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Stefano Morra
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : James Newton, Vytautas Paškūnas, Valentin Hernandez
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : James Newton, Vytautas Paškūnas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations modulaires de groupes

Représentations galoisiennes

Programme de Langlands

Mots clés libres

Programme de Langlands modulo p

Compatibilité local-global

Dimension de Gelfand-Kirillov

Anneaux de déformations galoisiennes

Diagrammes de Diamond

(phi,Gamma)-modules

Mod p Langlands program

Local-global compatibility

Gelfand-Kirillov dimension

Galois deformation rings

Diamond diagrams

(phi,Gamma)-modules

Résumé

Cette thèse est consacrée au programme de Langlands modulo p pour GL₂. Dans la première partie, j'étudie la dimension de Gelfand-Kirillov des représentations π provenant de la cohomologie modulo p des courbes de Shimura. Soit p un nombre premier et F un corps de nombres totalement réel non ramifié en des places divisant p. Soit r une représentation modulo p modulaire de dimension 2 du groupe de Galois de F qui satisfait l'hypothèse de Taylor-Wiles et quelques hypothèses techniques de généricité. Pour v une place fixée de F divisant p, on montre que de nombreuses représentations modulo p lisses admissibles de GL₂(Fᵥ) associées à r dans les espaces propres de Hecke correspondants de la cohomologie modulo p ont une dimension de Gelfand-Kirillov [Fᵥ:Qp]. Ceci s'appuie sur et étend les travaux de Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen et de Hu-Wang, en donnant une preuve unifiée pour tous les cas (r semisimple ou non à v). Dans la deuxième partie, j'étudie les (phi,Gamma)-modules étales D_A(π) associés aux représentations π provenant de la cohomologie modulo p des courbes de Shimura. Soit K une extension finie non ramifiée de Qp. Pour π une représentation modulo p lisse admissible de GL₂(K) satisfaisant certaines propriétés de multiplicité un, je calcule le rang du (phi,Gamma)-module étale D_A(π) associé défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen, ce qui étend leurs résultats. Dans la troisième partie, j'étudie les propriétés de compatibilité local-global des (phi,Gamma)-modules étales D_A(π). Pour ⍴ une représentation modulo p réductible quelconque de dimension 2 du groupe de Galois de K, je calcule explicitement le (phi,Gamma)-module étale D_A(⍴) défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen. Ensuite, soit π une représentation modulo p lisse admissible de GL₂(K) apparaissant dans certains espaces propres de Hecke de la cohomologie modulo p et ⍴ sa représentation modulo p sous-jacente de dimension 2 du groupe de Galois de K. En supposant que ⍴ est maximalement non-scindée, je montre sous certaines hypothèses de généricité que le (phi,Gamma)-module étale D_A(π) défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen est isomorphe à D_A(⍴). Ceci étend leurs résultats, où ⍴ était supposé semisimple.

This thesis is devoted to the mod p Langlands program for GL₂. In the first part, I study the Gelfand-Kirillov dimension of the representations π coming from the mod p cohomology of Shimura curves. Let p be a prime number and F a totally real number field unramified at places above p. Let r be a two-dimensional modular mod p representation of the Galois group of F that satisfies the Taylor-Wiles hypothesis and some technical genericity assumptions. For v a fixed place of F above p, we prove that many of the admissible smooth mod p representations of GL₂(Fᵥ) associated to r in the corresponding Hecke-eigenspaces of the mod p cohomology have Gelfand-Kirillov dimension [Fᵥ:Qp]. This builds on and extends the work of Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen and Hu-Wang, giving a unified proof in all cases (r either semisimple or not at v). In the second part, I study the étale (phi,Gamma)-modules D_A(π) associated to the representations π coming from the mod p cohomology of Shimura curves and compute there ranks. Let K be a finite unramified extension of Qp. For π an admissible smooth mod p representation of GL₂(K) satisfying certain multiplicity-one properties, we compute the rank of the associatedétale étale (phi,Gamma)-modules D_A(π) defined by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen, extending their results. In the third part, I study the local-global compatibility properties of the étale (phi,Gamma)-modules D_A(π). For ⍴ any reducible two-dimensional mod p representation of the Galois group of K, we compute explicitly the associated étale (phi,Gamma)-module D_A(⍴) defined by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen. Then we let π be an admissible smooth mod p representation of GL₂(K) occurring in some Hecke eigenspaces of the mod p cohomology and ⍴ be its underlying two-dimensional mod p representation of the Galois group of K. Assuming that ⍴ is maximally non-split, we prove under some genericity assumption that the associated étale (phi,Gamma)-module D_A(π) defined by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen is isomorphic to D_A(⍴). This extends their results, where ⍴ was assumed to be semisimple.