Sous-décalages de type fini sur des groupes : problèmes du vide et d'apériodicité

Subshifts of Finite Type on Groups : Emptiness and Aperiodicity

• Auteur / Autrice : Nicolás Bitar
• Direction : Nathalie Aubrun
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique mathématique
• Date : Soutenance le 28/06/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire interdisciplinaire des sciences du numérique (Orsay, Essonne ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : GALaC - Graphes, Algorithmes et Combinatoire
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Jeandel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jarkko Kari, Laurent Bartholdi, Irène Marcovici, Samuel Petite, Guillaume Theyssier, Matthieu Picantin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jarkko Kari, Laurent Bartholdi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pavage (mathématiques)

Fonctions calculables

Théorie des groupes

Dynamique symbolique

Mots clés libres

Pavages

Apériodicité

Calculabilité

Groupes de type fini

Substitutions

Sous-Décalages de type fini

Tilings

Aperiodicity

Computability

Finitely generated groups

Substitutions

Subshift of finite type

Résumé

Un sous-décalage de type fini est un ensemble de pavages d'un groupe sujet à un nombre fini de contraintes locales, où le groupe agit par translation. Ces dernières années, de nombreux progrès ont été réalisés dans la compréhension de leurs propriétés dynamiques et calculatoires. Le but de cette thèse est de poursuivre cette étude sur la manière dont les propriétés algébriques et géométriques du groupe sous-jacent influencent les propriétés des sous-décalages de type fini définis sur le groupe. Les résultats sont regroupés en trois grandes catégories : décidabilité, apériodicité et substitutions. Dans la première partie, nous étudions le problème du domino, ses variantes, et les conséquences de son indécidabilité sur de nombreux groupes de type fini. Nous classifions la calculabilité du Problème du Domino à Première Tuile Fixée, du Problème du Domino Récurrent, du Problème k-SAT, et des Problèmes du Domino Serpent pour de nombreuses classes de groupes bien connues. En particulier, ils sont tous décidables pour des groupes virtuellement libres. Cette classification est obtenue par des réductions utilisant des constructions SFT, la théorie des automates, et la logique monadique du second ordre. A la fin de la première partie, nous prenons une tangente pour étudier l'ensemble des marches auto-évitantes bi-infinies sur les graphes de Cayley. Cet ensemble apparaît naturellement dans l'étude du problème du serpent infini et est un sous-décalage de ℤ. Nous classifions les groupes pour lesquels ce sous-décalage est apériodique, de type fini, et sofique. Nous étudions également son entropie et sa relation avec la constante connective du graphe de Cayley. La deuxième partie traite de l'existence de sous-décalages de type fini fortement et faiblement apériodiques. Nous commençons par une étude de l'état de l'art de ces problèmes et explorons les parallèles avec des problèmes de probabilité et de combinatoire. Nous examinons ensuite quels sous-groupes d'un groupe peuvent être réalisés en tant que stabilisateurs de sous-décalages de type fini, en établissant des conditions algébriques et calculatoires pour que cela se produise. Dans ce même cadre, nous introduisons la classe des groupes périodiquement rigides, c'est-à-dire des groupes où chaque sous-décalage de type fini faiblement apériodique est fortement apériodique. Nous terminons cette partie en construisant, à partir des travaux d'Aubrun et de Kari, les premiers exemples de sous-décalages de type fini fortement apériodiques sur des groupes de Baumslag-Solitar non résolubles et sur Fₙ x ℤ. Par des théorèmes de Whyte et Cohen, nous obtenons l'existence de tels sous-décalages pour les groupes de Baumslag-Solitar généralisés non cycliques. La dernière partie de cette thèse introduit de nouvelles notions de substitutions, de systèmes S-adiques, et leurs sous-décalages correspondants pour les groupes dénombrables. Nous identifions trois classes de groupes. Premièrement, nous définissons les groupes S-décomposables. Ces groupes ont la structure hiérarchique appropriée pour définir des systèmes S-adiques généraux. Deuxièmement, nous étudions les groupes ccc introduits par Gao, Jackson et Seward, car ils permettent de définir des systèmes S-adiques à forme constante. Troisièmement, nous introduisons les groupes monoformes. Ces groupes permettent de définir des substitutions à forme constante. Nous fournissons des exemples pour les trois classes et des exemples pour leurs systèmes S-adiques correspondants. Nous terminons par l'étude des propriétés dynamiques des sous-décalages définis par ces systèmes. Nous montrons qu'en général, ils sont minimaux sous des conditions de primitivité, et que pour certains groupes ccc moyennables, ils ont une entropie nulle et sont uniquement ergodiques.

A subshift of finite type is a set of tilings of a group subject to a finite number of local constraints, where the group acts by translation. In recent years, much progress has been made in understanding their dynamical and computational properties. The goal of this thesis is to continue the study of how the algebraic and geometric properties of the underlying group influence the properties of subshifts of finite type defined on the group. The results are divided into three broad categories: decidability, aperiodicity, and substitutions. For the first part, we study the Domino Problem, its variants, and the consequences of its undecidability on many finitely generated groups. We classify the computability of the Seeded Domino Problem, the Recurring Domino Problem, the k-SAT Problem, and Domino Snake Problems for many well-known classes of groups. In particular, they are all decidable for virtually free groups. This classification is obtained through reductions involving SFT constructions, automata theory, and Monadic Second Order Logic. At the end of the first part, we go on a tangent to study the set of bi-infinite self-avoiding walks on Cayley graphs. This set appears naturally in the study of the Infinite Snake Problem and is a ℤ-subshift. We classify for which groups this subshift is aperiodic, of finite type, and sofic. We also study its entropy and its relation to the connective constant of the Cayley graph. The second part tackles the existence of strongly and weakly aperiodic subshifts of finite type. We begin with a survey on the state of the art of these problems and explore parallels with problems from probability and combinatorics. We then look at which subgroups of a group can be realized as the stabilizers of subshifts of finite type, establishing both algebraic and computational conditions for this to happen. Within this same framework, we introduce the class of periodically rigid groups, i.e. groups where every weakly aperiodic subshift of finite type is strongly aperiodic. We end this part by building upon the work of Aubrun and Kari to construct the first examples of strongly aperiodic subshifts of finite type on non-solvable Baumslag-Solitar groups and on Fₙ x ℤ. By theorems of Whyte and Cohen, we obtain the existence of such subshifts for non-cyclic generalized Baumslag-Solitar groups. The final part of the thesis introduces new notions of substitutions, S-adic systems, and their corresponding subshifts for countable groups. We identify three classes groups. First, we define S-decomposable groups. These groups have the appropriate hierarchical structure for defining general S-adic systems. Second, we study ccc groups introduced by Gao, Jackson, and Seward, as they allow the definition of constant-shape S-adic systems. Third, we introduce monoform groups. These groups allow for the definition of constant-shape substitutions. We provide examples for all three classes and examples for their corresponding S-adic systems. We finish studying the dynamical properties of the subshifts defined by these systems. We show that, in general, they are minimal under primitivity conditions, and that for some amenable ccc groups, they have zero entropy and are uniquely ergodic.