Systèmes intégrables, algèbres de Borel affines quantiques, et équations aux différences elliptiques

Integrable systems, quantum affine Borel algebras, and elliptic difference equations

• Auteur / Autrice : Keyu Wang
• Direction : David Hernandez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/09/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Schiffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giovanni Felder, Michela Varagnolo, Léa Bittmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Schiffmann, Valerio Toledano Laredo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de Weyl

Lie, Algèbres de

Ensembles boréliens

Groupes quantiques

Systèmes intégrables

Mots clés libres

Systèmes intégrables

Groupes quantiques

Théorie des représentations

Systèmes QQ̃

Sous-algèbres de Borel

Algèbres de Lie affines tordues

Actions du groupe de Weyl

Équations de KZB quantiques elliptiques

Integrable systems

Quantum groups

Representation theory

QQ̃-systems

Borel subalgebras

Twisted affine Lie algebras

Weyl group actions

Elliptic quantum KZB equations

Résumé

Les sujets abordés dans cette thèse sont organisés en trois parties. Dans la première partie, nous démontrons une conjecture formulée par E. Frenkel et D. Hernandez. Plus précisément, nous avons prouvé les systèmes TQ et les systèmes QQ̃ pour les algèbres affines quantiques tordues, duales de Langlands des algèbres affine quantiques. Pour démontrer ces systèmes, nous développons la théorie des représentations des sous-algèbres de Borel des algèbres affines quantiques tordues. Nous proposons de plus une conjecture énonçant une relation entre l'anneau de Grothendieck de la catégorie O des représentations des sous-algèbres de Borel tordues et celui du type non tordu correspondant. Nous établissons notre conjecture pour une certaines familles de représentations. Nous en déduisons des systèmes TQ et QQ̃ pour les sous-algèbres de Borel tordues. Dans la deuxième partie de la thèse, notre attention se porte sur les types non tordus, où nous examinons une symétrie du groupe de Weyl W associée à la catégorie O des représentations des sous-algèbres de Borel Uqb. Pour chaque élément w dans W, nous étudions les q-caractères normalisés par un l-poids marqué par w. Nous proposons une conjecture sur le phénomène de convergence des q-caractères w-normalisés des représentations de dimension finie. Pour expliquer ce phénomène, nous définissons et explorons les catégories Ow de Uqb-modules, où nous classifions leurs objets simples. Des représentations spécifiques dans Ow sont construites comme la limite inductive de représentations de dimension finie. Nous formulons également une conjecture qui établit un lien entre la catégorie usuelle O et les nouvelles catégories Ow. Cette conjecture suggère une méthode pour calculer les q-caractères d'un grand nombre de représentations dans O. Dans la dernière partie de la thèse, nous orientons notre attention vers les groupes quantiques elliptiques. Dans ce travail collaboratif avec Giovanni Felder et Tommaso Botta, nous résolvons les équations KZB quantiques pour les groupes quantiques elliptiques avec des méthodes géométriques. Nous étudions la structure de mélange des enveloppes stables elliptiques d'Aganagic-Maulik-Okounkov. Cette structure de mélange nous permet de construire des solutions aux équations KZB quantiques. Ce travail généralise la construction initialement élaborée par Felder-Tarasov-Varchenko pour le cas spécifique de sl2.

The subjects of this thesis are organized into three parts. In the first part, we prove a conjecture formulated by E. Frenkel and D. Hernandez. More specifically, we have established the TQ systems and the QQ̃ systems for the twisted quantum affine algebras, Langlands dual to the quantum affine algebras. To prove these systems, we develop the representation theory of the Borel subalgebras of twisted quantum affine algebras. In addition, we formulate a conjecture stating a relationship between the Grothendieck ring of the category O of representations of twisted Borel subalgebras and that of the corresponding untwisted type. We establish our conjecture for certain remarkable families of representations. As a result, we deduce the TQ and QQ̃ systems for the twisted Borel subalgebras. In the second part, our focus shifts to the untwisted types, where we examine a Weyl group symmetry associated with the category O of representations of Borel subalgebras Uqb. For each element w in W, we study the q-characters normalized by an l-weight labeled by w. We propose a conjecture on the convergence phenomenon of the w-normalized q-characters of finite-dimensional representations. To explain this phenomenon, we define and explore the categories Ow of Uqb-modules, where we classify their simple objects. Specific representations in Ow are constructed as the inductive limit of finite-dimensional representations. We also formulate a conjecture that establishes a link between the usual category O and the new categories Ow. This conjecture suggests a method for calculating the q-characters of a large number of representations in O. In the last part, we redirect our focus to elliptic quantum groups. In this collaborative work with Giovanni Felder and Tommaso Botta, we solve the quantum KZB equations for elliptic quantum groups based on geometric methods. We examine the shuffle structure of the elliptic stable envelopes of Aganagic-Maulik-Okounkov. This shuffle structure allows us to construct solutions to the quantum KZB equations. This work generalizes the construction initially developed by Felder-Tarasov-Varchenko for the specific case of sl2.