Graphes expanseurs et applications à la cryptographie en théorie de l'information

Expander graphs and applications to information theoretic cryptography

• Auteur / Autrice : Geoffroy Caillat-Grenier
• Direction : Andrei Romashchenko, Alexander Shen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 10/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique, de robotique et de micro-électronique (Montpellier ; 1992-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Bessy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marius Zimand, Bruno Loff, Véronique Terrier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sylvain Perifel, Mikhail N. Vyalyi
• DOI : 10.70675/592a853ez651cz4af9zadc5zc5c0b7419497

Mots clés

Mots clés contrôlés

Communication

Algorithmes

Théorie des graphes

Mots clés libres

Graphes expanseurs

Complexité de communication

Théorie algorithmique de l'information

Expander graphs

Communication complexity

Algorithmic information theory

Résumé

Cette thèse de doctorat porte sur la théorie spectrale des graphes et ses applications à la cryptographie dans le cadre de la théorie algorithmique de l'information. Nous commençons par présenter une introduction générale à la théorie spectrale des graphes. Nous expliquons d'abord les diverses relations entre le spectre des graphes réguliers et leurs propriétés combinatoires, en particulier leurs propriétés d'expansion. Nous poursuivons en présentant la plupart des outils techniques classiques dans ce domaine et nécessaires à notre contribution. Dans un deuxième temps, nous étudions plusieurs modèles de graphes aléatoires qui sont potentiellement utiles pour des applications pratiques. Les graphes étudiés ici ont relativement peu d'arêtes. Notre travail se concentre d'abord sur des expériences numériques sur ces graphes. Nous fournissons des preuves expérimentales que certains modèles de graphes aléatoires, tels que les graphes de Schreier aléatoires du groupe général linéaire ou les graphes issus des matrices de Toeplitz, sont de très bons expanseurs spectraux, du moins avec les paramètres que nous avons testés. De plus, nous fournissons des bornes théoriques sur l'espérance de la deuxième plus grande valeur propre de nos graphes de Schreier, ce qui offre des garanties sur l'expansion spectrale de tels objets mathématiques pour des paramètres fixés. Nous poursuivons notre étude avec quelques applications des propriétés spectrales et combinatoires des graphes aux problèmes de communication dans le cadre de la théorie algorithmique de l'information. Nous commençons par donner le contexte général de la complexité de Kolmogorov et de l'extractibilité de l'information mutuelle. Après ce travail introductif, nous détaillons nos outils techniques issus de la théorie des graphes qui sont ensuite utilisés pour prouver des propriétés d'inextractibilité de l'information mutuelle de certaines structures algébriques représentées sous forme de graphes (les graphes qui nous seront utiles ici seront beacuoup plus denses que précédement). Après avoir expliqué les bases nécessaires issues de la cryptographie en théorie de l'information, nous utilisons ces propriétés pour établir des bornes supérieures en pire cas sur la complexité de communication lors d'un accord de clé secrète avec trois participants, ainsi que d'autres résultats d'impossibilité sur des problèmes de communication en cryptographie.

This PhD thesis is a work on spectral graph theory and its applications to cryptography in the framework of algorithmic theory of information.We start by presenting a general introduction on spectral graph theory. We first explain the various connections between the spectrum of regular graphs and their combinatorial properties, in particular their expansion properties. We follow by presenting most of the technical tools that are classical in the field and necessary for our contribution.Secondly, we study several models of random graphs that are potentially useful for practical applications. The graphs we study here are sparse. Our work first focus on numerical experiments on such graphs. We provide experimental evidence that some models of random graphs such as random Schreier graphs of the general linear group or graphs from Toeplitz matrices are very good spectral expander, at least for the set of parameters we tested. Moreover, we give some theoretical bounds on the expected second largest eigenvalue of Schreier graphs that gives guarantees on the spectral expansion of such mathematical objects for fixed parameters.We follow our study with some applications of spectral and combinatorial properties of graphs to communication problems in the framework of algorithmic information theory. We start by giving the general context on Kolmogorov complexity and mutual information extractability. After this introductory work, we detail our technical tools from graph theory that are then used to prove mutual information inextractability properties of some algebraic structures represented as graphs (the graphs that will be of use here are much denser than that of the previous chapter). After explaining the background needed from information theoretic cryptography, we use these properties to establish worst case upper bounds on communication complexity on secret key agreement with three participants, and other impossibility results on communication problems in cryptography.