Métriques de Calabi-Yau et valuations K-stables sur les variétés sphériques affines

Calabi-Yau metrics and K-stable valuations on affine spherical varieties

• Auteur / Autrice : Tran-Trung Nghiem
• Direction : Thibaut Delcroix, Marc Herzlich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 22/10/2024
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Paul-Emile Paradan
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Liana Heuberger, Sébastien Boucksom
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hans-Joachim Hein, Gábor Székelyhidi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Équations de Monge-Ampère

Géométrie convexe

Géométrie analytique

Mots clés libres

Géométrie analytique

Géométrie convexe

Géométrie complexe

Équations de Monge-Ampère

Géométrie algébrique

Analytic geometry

Complex geometry

Monge-Ampere equations

Convex geometry

Algebraic geometry

Résumé

La présente thèse constitue une première étape vers une classification en termes de valuations des métriques de Calabi-Yau complètes à croissance de volume maximale sur les espaces symétriques complexes, ou plus généralement les variétés sphériques affines.Dans la première partie, nous introduisons les cônes sphériques, dont les métriques coniques de Calabi-Yau éventuelles sont des modèles asymptotiques de variétés sphériques affines de Calabi-Yau. Nous démontrons que les cônes horosphériques, contenant strictement les cônes toriques et cônes sur les grassmanniens, sont toujours de Calabi-Yau via l'étude d'une équation de Monge-Ampère réelle. Plus généralement, nous établissons l'équivalence entre la K-stabilité des cônes sphériques, exprimée par une condition combinatoire explicite, et l'existence de métriques coniques de Calabi-Yau.Dans la deuxième partie, nous procédons à étudier les valuations induites par ces métriques de Calabi-Yau sur les variétés sphériques affines lisses, dites valuations K-stables. Comme application, nous donnons une liste explicite des valuations K-stables sur les espaces symétriques de rang deux, chacune desquelles induit une dégénérescence de l'espace vers le candidat du cône asymptotique. Pour une valuation à l'intérieur du cône des valuations, qui dégénère l'espace vers un cône horosphérique, nous montrons qu'il est toujours possible de construire une métrique de Calabi-Yau asymptotique à la métrique conique de Calabi-Yau sur ce cône.

This thesis is the first step towards the classification in terms of valuations of complete Calabi-Yau metrics with maximal volume growth on complex symmetric spaces, or more generally, affine spherical varieties.In the first part, we introduce spherical cones, whose conical Calabi-Yau metrics if exist are asymptotic models of Calabi-Yau affine spherical varieties. We prove that horospherical cones (which strictly include toric cones and cones over grassmannians) are always conical Calabi-Yau via the study of a real Monge-Ampère equation. More generally, we establish equivalence between K-stability of spherical cones, expressed by an explicit combinatorial condition, and existence of conical Calabi-Yau metrics.In the second part, we proceed to study the valuations induced by these Calabi-Yau metrics on affine spherical manifolds, called K-stable valuations. As an application, we provide an explicit list of K-stable valuations on symmetric spaces of rank two, each of which induces a degeneration of the space to the candidate of the asymptotic cone. For a valuation in the interior of the valuation cone, inducing the degeneration towards a horospherical cone, we prove that it is always possible to construct a Calabi-Yau metric asymptotic to the conical Calabi-Yau metric on this cone.