Sur les données de comptage dans le cadre des valeurs extrêmes et la modélisation multivariée

On counting data within the framework of extreme values and multivariate modeling

• Auteur / Autrice : Samuel Valiquette
• Direction : Gwladys Toulemonde, Eric Marchand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Biostatistique
• Date : Soutenance le 03/07/2024
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....) en cotutelle avec Université de Sherbrooke. Département de mathématiques
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Noël Bacro
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Mortier, Klaus HERRMANN
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Stéphane Girard, Stéphane Robin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Observations aberrantes (statistique)

Analyse multivariée

Statistique mathématique

Mots clés libres

Données de comptage

Modèle de distribution des espèces

Valeurs extrêmes

Modélisation multivariée discrète

Count data

Joint species distribution models

Extreme values

Discrete multivariate model

Résumé

Cette thèse s’intéresse à certains aspects théoriques de la modélisation des données de comptage. Deux cadres distincts sont abordés : celui des valeurs extrêmes et celui de la modélisation multivariée. Notre première contribution explore, en termes des comportements extrêmes, les liens existants entre le mélange Poisson et sa loi de mélange. Ce travail permet de caractériser et séparer plusieurs familles de lois de mélanges Poisson selon leur comportement en queue. Bien que ce travail soit théorique, nous discutons de son utilité d’un point de vue pratique, notamment pour le choix de la loi de mélange. Notre deuxième contribution porte sur une nouvelle classe de modèles multivariés dénommée Tree Pólya Splitting. Celle-ci repose sur une modélisation hiérarchique et suppose qu’une quantité aléatoire est répartie successivement selon une loi de Pólya à travers une structure d’arbre de partition. Dans ce travail, nous caractérisons les lois marginales univariées et multivariées, les moments factoriels, ainsi que les structures de dépendance (covariance/corrélation) qui en découlent. Nous mettons en évidence, à l’aide d’un jeu de données correspondant à l’abondance de trichoptères, l’intérêt de cette classe de modèles en comparant nos résultats à ceux obtenus, par exemple, avec des modèles de type Poisson log-normale multivariée. Nous concluons cette thèse en présentant diverses perspectives de recherche.

This thesis focuses on certain theoretical aspects of counting data modeling. Two distinct frameworks are addressed: extreme values and multivariate modeling. Our first contribution explores, in terms of extreme behaviors, the existing connections between the Poisson mixture and its mixing distribution. This work allows us to characterize and discriminate several families of Poisson mixture according to their tail behavior. Although this work is theoretical, we discuss its practical utility, particularly regarding the choice of the mixing distribution. Our second contribution focuses on a new class of multivariate models called Tree Pólya Splitting. This class is based on hierarchical modeling and assumes that a random quantity is successively divided according to a Pólya distribution through a partition tree structure. In this work, we characterize univariate and multivariate marginal distributions, factorial moments, as well as the resulting dependency structures (covariance/correlation). Using a dataset corresponding to the abundance of Trichoptera, we highlight the interest of this class of models by comparing our results to those obtained, for example, with multivariate Poisson-lognormal models. We conclude this thesis by presenting various perspectives.