Variations autour de deux problèmes d'analyse de Fourier : principe d'incertitude et approximation lacunaire

Topics in Fourier analysis : uncertainty principles and lacunary approximation

• Auteur / Autrice : Yiyu Tang
• Direction : Evgueni Abakoumov, Omer Friedland
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/06/2024
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....) - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Sophie Grivaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Evgueni Abakoumov, Omer Friedland, Alexander Borichev, Philippe Jaming, Yulia Kuznetsova, Alexandros Eskenazis, Olivier Guédon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Borichev, Philippe Jaming

Mots clés

Mots clés contrôlés

Heisenberg, Principe d'incertitude d'

Vecteurs cycliques

Opérateurs de décalage (théorie des opérateurs)

Fourier, Analyse de

Mots clés libres

Principes d'incertitude

Transformée de Fourier

Espace de Hardy

Espaces séquentiels

Opérateurs de décalage

Vecteurs cycliques

Uncertainty principle

Fourier transform

Hardy spaces

Sequence spaces

Shift operators

Cyclic vectors

Résumé

Cette thèse a pour l'étude des principes d'incertitude et des problèmes d'approximation en analyse de Fourier. Elle se compose de deux parties. La première partie se concentre sur les principes d'incertitude dans l'analyse de Fourier. En utilisant une technique récemment inventée par Avi Wigderson et Yuval Wigderson, nous donnons une nouvelle preuve du principe d'incertitude de Heisenberg, répondant ainsi positivement à plusieurs questions posées par Wigderson & Wigderson. Nous obtenons également des nouvelles généralisations du principe d'incertitude, qui illustre la puissance de la nouvelle méthode. La deuxième partie concerne l'approximation sur les espaces séquentiels pondérés. Nous généralisons un ancien résultat dû à Douglas, Shapiro et Shields sur les vecteurs cycliques de l'opérateur de décalage dans les espaces séquentiels. L'esprit général du théorème affirme que si un élément dans les espaces séquentiels l^2 a un spectre clairsemé, alors ses décalages ne peuvent pas être concentrés sur un sous-ensemble, ils doivent donc se répandre dans tout l'espace. Ce phénomène peut également être considéré comme un principe d'incertitude, et il est également vrai pour p supérieur à 2 et faux pour 1<p<2. Dans la deuxième partie de la thèse, nous explorons ce théorème dans l'espace pondéré

This thesis is devoted to the study of uncertainty principles and approximation problems in Fourier analysis. It consists two parts.The first part focus on uncertainty principles in Fourier analysis. Using a technique recently invented by Avi Wigderson and Yuval Wigderson, we give a new proof of the classical Heisenberg uncertainty principle, hence answering several questions affirmatively posed by Wigderson & Wigderson. Also, we obtain some other new generalization on uncertainty principle, which illustrates the power of the new method.The second part is about approximation on weighted sequence spaces. We generalize an old result due to Douglas, Shapiro and shields on cyclic vectors of shift operator in sequence spaces, which asserts that if an element in l^2 spaces has a ``sparse'' spectrum, then its shifts can not be concentrated on a proper subset, hence they must spread out in the whole space. This phenomenon can also be roughly considered as an uncertainty principle, and it is also true for p greater than 2 and false for 1<p<2. In the second part of the thesis, we explore this theorem in weighted space