Schémas de discrétisation en pression et éléments finis de Crouzeix-Raviart pour les écoulements de fluides incompressibles

Pressure discretization schemes and Crouzeix-Raviart finite elements for incompressible fluid flows

• Auteur / Autrice : Andrew Peitavy
• Direction : Eric Chenier, Christophe Le Potier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des fluides
• Date : Soutenance le 19/06/2024
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Modélisation et simulation multi échelle (Marne-la-Vallée) - Laboratoire Modélisation et simulation multi échelle (Marne-la-Vallée)
• Jury : Président / Présidente : Mejdi Azaïez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Chenier, Christophe Le Potier, Brahim Amaziane, Stella Krell, Erell Jamelot, Florence Hubert, Robert Eymard
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Brahim Amaziane, Stella Krell

Mots clés

Mots clés contrôlés

Discrétisation

Éléments finis, Méthode des

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Navier-Stokes

Crouzeix-Raviart

Schéma décalé

Schémas gradients

Mpfa

Incompressible

Navier-Stokes

Crouzeix-Raviart

Staggered scheme

Gradient scheme

Mpfa

Incompressible

Résumé

Dans le cadre de la sécurité nucléaire, le Laboratoire de Modélisation et de Simulation en mécanique des Fluides (LMSF) développe le code TrioCFD, qui permet la résolution des équations de Navier-Stokes. Pour les maillages de simplexes, la discrétisation spatiale du code TrioCFD est basée sur les éléments finis non conformes de Crouzeix-Raviart [32] (noté P1nc-P0) : l’espace de discrétisation des composantes de la vitesse est l’espace P1nc et l’espace de discrétisation de la pression est l’espace composée de fonctions affines et constantes (noté P1nc-P0P1) ce qui permet de réduire les courants parasites et d’améliorer la précision [5]. Cette amélioration est optimale en 2D, mais en 3D [6], il faut rajouter un nombre important de degrés de liberté pour la pression qui rendent la résolution plus coûteuse en nombre d’opérations et en empreinte mémoire. Le but de ces travaux est d’obtenir un schéma aussi précis que le schéma P1nc-P0P1 avec moins de degrés de liberté pour la pression et une discrétisation efficace des équations de Navier-Stokes. Dans cette optique, une nouvelle méthode de discrétisation avec les éléments finis de Crouzeix-Raviart non conformes pour la vitesse et un schéma MPFA symétrique (Multipoint Flux Approximations) pour la pression est proposée. Son principe en 2D est de découper les mailles triangulaires en trois quadrangles en reliant les milieux des arêtes et le barycentre des éléments. Ensuite, en introduisant des inconnues aux tiers des arêtes pour la pression, on peut définir un gradient de pression constant pour chaque quadrangle. Enfin, en imposant la continuité des flux de ces gradients à travers les arêtes, on peut alors substituer les inconnues des arêtes par celles des cellules dans le système global. Pour éliminer les inconnues de pression des arêtes sur le bord, on y impose une condition. Cette méthode livre des résultats prometteurs et est un bon compromis entre les schémas P1nc-P0 et P1nc-P0P1. Une autre approche développée dans cette thèse est une méthode d'hybridation appliquée au schéma P1nc-P0 permettant une résolution couplée de la vitesse et de la pression via des inconnues auxiliaires introduites en amont et résultant à la résolution de système fortement parallélisable

In the context of nuclear safety, the Laboratoire de Modélisation et de Simulation en Mécanique des Fluides (LMSF) is developing the TrioCFD code, which enables the resolution of the Navier-Stokes equations. For simplex meshes, the TrioCFD code's spatial discretization is based on non-conforming the finite element of Crouzeix-Raviart [32] (denoted P1nc-P0): the discretization space for velocity components is the P1nc space and the discretization space for pressure is the space composed of affine and constant functions (denoted P1nc-P0P1), which reduces parasitic currents and improves accuracy [5]. This improvement is optimal in 2D, but in 3D [6], a large number of pressure degrees of freedom must be added, making the resolution more costly in terms of number of operations and memory footprint.The aim of this work is to obtain a scheme as accurate as the P1nc-P0P1 scheme, with fewer degrees of freedom for the pressure and an efficient discretization of the Navier-Stokes equations. With this in mind, a new discretization method using non-conforming Crouzeix-Raviart finite elements for velocity and a symmetrical MPFA (Multipoint Flux Approximations) scheme for pressure is proposed.Its principle in 2D is to cut triangular meshes into three quadrangles by connecting the middles of the edges and the barycenters of the elements. Then, by introducing unknowns for pressure at thirds of the edges, we can define a constant pressure gradient for each quadrangle.Finally, by imposing continuity of flow for these gradients across the edges, we can then substitute the unknowns of the edges with those of the cells in the overall system. To eliminate the edge pressure unknowns, a condition is imposed. This method delivers promising results and is a good compromise between the P1nc-P0 and P1nc-P0P1 schemes.Another approach developed in this thesis is a hybridization method applied to the P1nc-P0 scheme, enabling coupled resolution of velocity and pressure via auxiliary unknowns introduced upstream and resulting in the resolution of highly parallelizable systems