Algorithmique et structure des problèmes d'identification dans les graphes

Structural and algorithmic aspects of identification problems in graphs

• Auteur / Autrice : Dipayan Chakraborty
• Direction : Annegret Wagler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 09/12/2024
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences pour l'ingénieur (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique, de Modélisation et d'Optimisation des Systèmes
• Jury : Président / Présidente : Paul Dorbec
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ralf Klasing, Florent Foucaud, Michael A. Henning
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tero Laihonen, Arnaud Pêcher

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Mots clés libres

Algorithmique

Identification

Domination

Localisation

Algorithms

Identification

Domination

Locating

Résumé

Les problèmes d'identification dans les graphes concernent en général la « séparation » de sommets. Une des formulations les plus étudiées utilise des ensembles dominants. Un ensemble dominant est un sous-ensemble de sommets S d'un graphe G tel que tout sommet non inclus dans S doit avoir un voisin dans S. Ces ensembles permettent de « séparer » des paires de sommets en trouvant un ensemble dominantv S où toute paire de sommets distincts a des ensembles de voisins distincts dans S.Dans cette thèse, nous étudions des problèmes d'identification dans les graphes basés sur les ensembles dominants et totalement dominants (une version plus forte). En variant les types de voisinages distincts qui séparent les sommets, nous analysons quatre propriétés de séparation, dont l'une est nouvellement introduite. Combinées avec les deux propriétés de domination, nous étudions huit ensembles de séparation-domination (souvent appelés codes). Nous examinons les X-codes, où X appartient à {LD, LTD, ID, ITD, OD, OTD, FD, FTD}, abréviations des noms des codes. L'objectif est de minimiser la cardinalité des codes d'un graphe donné, et nous appelons cette cardinalité minimale le nombre de code ou X-nombre.La thèse présente des résultats structurels et algorithmiques. Dans la partie structurelle, nous étudions les bornes générales sur les huit codes et comparons par paires leurs nombres de code afin de fournir un schéma complet de leurs relations. Pour sept des huit codes, nous étudions des conjectures de la littérature sur les bornes des nombres de code. Pour un graphe G, les bornes supérieures sont de la forme f(G).n, où n est le nombre de sommets, et f(G) est une fonction du graphe.Sur les graphes sans jumeaux, nous examinons une conjecture de borne supérieure avec f(G) = 1/2 pour X=LD, et f(G) = 2/3 pour X=LTD. Pour X=LD, nous prouvons que la conjecture est vraie pour les graphes sous-cubiques et les graphes en blocs. Pour X=LTD, la conjecture est vérifiée pour les graphes split, cobipartis, en blocs et sous-cubiques. Pour X=ID, nous prouvons une borne supérieure sur les graphes sans triangles avec f(G) = (d-1)/d, où d est le degré maximum de G. Pour X=OTD, nous trouvons un résultat exact pour les cycles avec f(G) environ égal à 2/3 ; pour les graphes sans cycles de longueur 4, nous prouvons une borne supérieure avec f(G) = (2d-1)/2d. Pour les graphes en blocs, nous établissons des bornes supérieures et inférieures des X-nombres pour X=LD, ID et OTD. Pour X=OD, nous trouvons des valeurs exactes pour des classes de graphes comme les semi-graphes (half-graphs) et les graphes araignées sans tête. Enfin, pour X=FD et FTD, nous déterminons les valeurs exactes des nombres de code pour les chemins, cycles, semi-graphes et graphes araignées sans tête.Dans la partie algorithmique, nous prouvons que pour les nouveaux X-codes introduits, c'est-à-dire pour X = OD, FD et FTD, trouver un X-code minimal est un problème NP-complet. Nous prouvons également qu'il est NP-difficile de décider si la différence entre les OD- et OTD-nombres (ou les FD- et FTD-nombres) est d'au plus 1 pour un graphe donné. Enfin, pour le problème de trouver un code LD minimal, déjà prouvé NP-complet, nous examinons des paramètres naturels et structurels. Nous fournissons une borne inférieure sur les temps d'exécution en fonction de la taille de la solution et prouvons un résultat d'incompressibilité lié à l'ordre du graphe. Pour les paramètres nombre de couverture par sommets, nombre de couverture par jumeaux et distance à une clique, nous proposons des algorithmes sur-exponentiels. Pour le paramètre largeur arborescente, nous fournissons un algorithme doublement exponentiel, optimal sous l'ETH. Pour la diversité de voisinage et le nombre cyclomatique comme paramètres, nous montrons que le problème possède un noyau linéaire.

Identification problems in graphs are those which, in general, deal with « separating » one vertex from another. To that end, one of the most well-studied formulations of such problems is by using dominating sets in graphs. A dominating set is a vertex subset S of a graph G such that any vertex not is S must have a neighbor in S. Using such sets as a combinatorial tool, pairs of vertices can be « separated » by finding a dominating set such that any two distinct vertices have distinct sets of neighbors in the set.In this thesis, we study such identification problems in graphs based on dominating and total-dominating sets (a stronger variant of dominating sets). Also varying the types of (distinct) neighborhoods by which the vertices are « separated », we look at four separating properties, one of which is newly introduced. In combination with the two dominating properties therefore, we study at eight separating-dominating sets (often called codes) in graphs. In short, we study X-codes of graphs, where X belongs to the set {LD, LTD, ID, ITD, OD, OTD, FD and FTD} of abbreviations of the original code names. The objective of such studies is to minimize the cardinalities of the codes and we call such a minimum cardinality to be a code number (or the X-number).The thesis has both structural and algorithmic results. In the structural part, we study general bounds on all the eight codes and compare pairwise their code numbers to provide a complete scheme of their relations. We also study several conjectures from the literature on bounds of code numbers. For a graph G, the upper bounds we study are of the form f(G).n, where n is the number of vertices of a graph and f(G) is some number that is a function of the graph G.On twin-free graphs, we study such an upper bound conjecture with f(G) = 1/2 for X=LD and with f(G) = 2/3 for X=LTD. For X=LD, we prove the conjecture to be true and tight for subcubic and block graphs. Moreover, for X=LTD, we prove the corresponding conjecture to be true and tight for split, cobipatite, block and subcubic graphs. For X=ID, we prove a tight upper bound conjecture on triangle-free graphs with f(G) = (d-1)/d, where d is the maximum degree of a graph G. For X=OTD, we prove an exact result for cycles with f(G) being about 2/3 ; and for four-cycle-free graphs, we prove a tight upper bound with f(G) = (2d-1)/d, where d is again the maximum degree of G. Moreover, for block graphs, we establish both upper bounds (including a conjecture) and lower bounds on X-numbers for X=LD, ID and OTD in terms of the number of vertices and blocks (maximal 2-connected subgraphs). For X=OD, we study and find exact values of the OD-numbers for several graph classes like half-graphs, headless spiders and suns. Finally, for X=FD and FTD, we again find the exact values of the respective code numbers for paths, cycles, half-graphs and headless spiders.In the algorithmic part of the thesis, we prove that for the newly introduced X-codes, that is for X=OD, FD and FTD, finding a minimum X-code is NP-complete. We also prove that, despite the OD- and the OTD-numbers (respectively, the FD- and the FTD-numbers) differing with each other by at most 1, it is in general NP-hard to decide if such a difference exists on a given graph. Finally, with the problem of finding a minimum LD-code being already known to be NP-complete, we look at the problem parameterized by some natural and structural parameters. We provide a tight lower bound on algorithmic running times in terms of the solution size and also prove an incompressibility result in terms of the order of the graph. With vertex cover number, twin-cover number and distance to clique, we provide algorithms running in slightly super-exponential times. Moreover, when parameterized by treewidth, we provide a double-exponential algorithm that is also tight under the ETH. With neighborhood diversity and feedback edge set number as parameters, we show that the problem has a linear kernel.