Commutateurs de paraproduits de martingales et d'intégrales singulières non commutatifs

Commutators of martingale paraproducts and singular integrals in the noncommutative setting

• Auteur / Autrice : Zhenguo Wei
• Direction : Quanhua Xu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/06/2024
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Harbin Institute of Technology (Chine)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-2024)
• Jury : Président / Présidente : Christian Le Merdy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Zhi Yin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tuomas Hytönen, Éric Ricard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes abéliens

Mots clés libres

Paraproduits de Martingale

Opérateurs intégraux singuliers

Inégalité de Littlewood-Paley-Stein

Martingales semi-Commutatives et non-Commutatives

Commutateurs

Ordre optimal

Semigroupe de diffusion symétrique non commutatif

Fonctions carrées

Espace BMO

Espaces de Martingales de Besov

Produit tensoriel

Classe de Schatten

Algèbre CAR

Algèbre de matrices

Opérateurs intégraux singuliers

Méthode médiane complexe.

Martingale paraproducts

Singular integral operators

Littlewood-Paley-Stein inequality

Semicommutative and noncommutative martingales

Commutators

Optimal order

BMO spaces

Martingale Besov spaces

Semicommutative and noncommutative martingales

Tensor product

Schatten class

CAR algebra

Matrix algebra

Singular integral operators

Complex median method vi

Résumé

Cette thèse se compose de trois parties. La première partie concerne les meilleures constantes des inégalités de Littlewood-Paley-Stein non commutatives. Soient {T_t}_{t>0} un semigroupe de diffusion symétrique non commutatif sur une algèbre de von Neumann semi-finie mathcal{M} et {P_t}_{t>0} son semigroupe de Poisson subordonné associé. Junge, Le Merdy et Xu ont démontré l'inégalité suivante qui étend au cas non commutatif de la célèbre inégalité de Littlewood-Paley-Stein classique: Pour tout 1<p<8, on a begin{equation*} alpha_p^{-1}|x|_{p}le |x|_{p,P}le beta_p |x|_{p},quad xin L_p(M), end{equation*} où |cdot|_{p,P} est la norme L_p(M) des fonctions carrées associées à {P_t}_{t>0} , et alpha_p, beta_p sont les meilleures constantes dépendant uniquement de p . Nous montrons que beta_plesssim p ;text{ lorsque };pto 8 et p est l'ordre optimal de beta_p . Nous obtenons également des bornes inférieures et supérieures de alpha_p et beta_p dans les autres cas. La deuxième partie se concentre sur la bornitude des commutateurs opérateurs impliquant des paraproduits de martingales. Nous montrons la bornitude des commutateurs opérateurs [pi_a,M_b] sur l'espace non commutatif L_p(mathbb{R},L_p(mathcal{M})) pour toute algèbre de von Neumann mathcal{M} et 1<p<infty , où pi_a est le paraproduit de martingales d -adiques avec le symbole ain BMO^d(mathbb{R}) et M_b est l'opérateur de multiplication à gauche non commutative avec bin BMO^d_mathcal{M}(mathbb{R}) . De plus, nous étudions la propriété d'extrapolation des paraproduits de martingales semi-commutatives d -adiques en termes de l'espace BMO^d_mathcal{M}(mathbb{R}) . La troisième partie se porte sur les paraproduits de martingales non commutativs et des commutateurs opérateurs impliquant des opérateurs intégraux singuliers. Nous étudions l'appartenance à la classe de Schatten des paraproduits de martingales semi-commutatives et utilisons la méthode de transfert pour traiter des paraproduits martingales purement non commutatives, notamment pour les algèbres CAR et mathop{otimes}limits_{k=1}^{infty}mathbb{M}_{d} en termes d'espaces de Besov de martingales. En utilisant la technique de martingales dyadiques de Hytönen, nous obtenons également des conditions suffisantes sur l'appartenance à la classe de Schatten et la bornitude des commutateurs opérateurs impliquant des opérateurs intégraux singuliers généraux. Nous établissons la méthode de la médiane complexe et l'appliquons pour obtenir les conditions nécessaires optimales sur l'appartenance à la classe de Schatten des commutateurs opérateurs associés à des noyaux non dégénérés au sens de Hytönen. Cela résout le problème de la caractérisation de l'appartenance à la classe de Schatten des commutateurs opérateurs. Nos résultats sont nouveaux même dans le cas scalaire. Par une décomposition de type factorisation faible, nous obtenons des conditions nécessaires mais non optimales sur la bornitude des commutateurs opérateurs. De plus, nous donnons une nouvelle démonstration de la bornitude des commutateurs impliquant encore des opérateurs intégraux singuliers concernant l'espace BMO dans le cadre commutat

This thesis consists three parts. The first part is about the best constants of the noncommutative Littlewood-Paley-Stein inequalities. Let {T_t}_{t>0} be a noncommutative symmetric diffusion semigroup on a semifinite von Neumann algebra mathcal{M} , and let {P_t}_{t>0} be its associated subordinated Poisson semigroup. Extending the celebrated noncommutative Littlewood-Paley-Stein inequality to the noncommutative setting, Junge, Le Merdy and Xu proved the following: For any 1<p<8 , one has begin{equation*} alpha_p^{-1}|x|_{p}le |x|_{p,P}le beta_p |x|_{p},quad xin L_p(M), end{equation*} where |cdot|_{p,P} is the L_p(M) -norm of square functions associated with {P_t}_{t>0} , and alpha_p, beta_p are the best constants only depending on only p . We show that beta_plesssim p ;text{ as }; pto 8 and moreover, p is the optimal order of beta_p . We also obtain lower and upper bounds of alpha_p and beta_p in the other cases. The second part focuses on the boundedness of operator-valued commutators involving martingale paraproducts. We show the boundedness of operator-valued commutators [pi_a,M_b] on the noncommutative L_p(mathbb{R},L_p(mathcal{M})) for any von Neumann algebra mathcal{M} and 1<p<infty , where pi_a is the d -adic martingale paraproduct with symbol ain BMO^d(mathbb{R}) and M_b is the noncommutative left multiplication operator with bin BMO^d_mathcal{M}(mathbb{R}) . Besides, we consider the extrapolation property of semicommutative d -adic martingale paraproducts in terms of the BMO^d_mathcal{M}(mathbb{R}) space. The third part of the thesis is about the boundedness and Schatten class property of noncommutative martingale paraproducts and operator-valued commutators involving singular integral operators. We study Schatten class membership of semicommutative martingale paraproducts and use the transference method to describe Schatten class membership of purely noncommutative martingale paraproducts, especially for CAR algebras and mathop{otimes}limits_{k=1}^{infty}mathbb{M}_{d} in terms of martingale Besov spaces. Using Hyt''{o}nen's dyadic martingale technique, we also obtain sufficient conditions on the Schatten class membership and the boundedness of operator-valued commutators involving general singular integral operators. We establish the complex median method and apply it to get the optimal necessary conditions on the Schatten class membership of operator-valued commutators associated with non-degenerate kernels in Hyt''{o}nen's sense. This resolves the problem on the characterisation of Schatten class membership of operator-valued commutators. Our results are new even in the scalar case. By a weak-factorisation type decomposition, we get some necessary but not optimal conditions on the boundedness of operator-valued commutators. In addition, we give a new proof of the boundedness of commutators still involving general singular integral operators concerning BMO spaces in the commutative setting.