Descriptions cinétiques et limites asymptotiques des plasmas de fusion thermonucléaire

Kinetic descriptions and asymptotic limits of thermonuclear plasmas

• Auteur / Autrice : Etienne Lehman
• Direction : Claudia Negulescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 01/07/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Franck Boyer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Crouseilles, Maurizio Ottaviani
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean Dolbeault, Bruno Després

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fokker-Planck, Équation de

Théorie du transport

Plasmas (gaz ionisés)

Mots clés libres

Physique des plasmas

Modèles cinétiques

Equation de Vlasov

Equation de Fokker-Planck

Plasma physics

Kinetic models

Vlasov equation

Fokker-Planck equation

Résumé

Cette thèse de doctorat porte sur l'analyse mathématique et la résolution numérique d'équations modélisant les plasmas de fusion nucléaire. Les plasmas d'un tokamak peuvent être décrits par des modèles s'appuyant sur des postulats de la physique. Cependant, ces modèles seraient trop coûteux à simuler numériquement. Pour concevoir des machines permettant d'exploiter la fusion nucléaire à des fins civiles, il est nécessaire d'utiliser des modèles peu coûteux d'un point de vue numérique. De tels modèles peuvent être dérivés à l'aide de l'analyse asymptotique, à partir de descriptions cinétiques du plasma. Des arguments d'adimensionnement permettent d'identifier des petits paramètres qui rendent le modèle de départ singulier. Faire tendre ces paramètres vers 0 (formellement ou rigoureusement), permet d'obtenir des modèles limites moins coûteux qui doivent ensuite être étudiés mathématiquement et numériquement. Le premier chapitre de cette thèse s'intéresse à une équation cinétique modélisant le comportement des électrons dans le cœur d'un tokamak. Les électrons y sont beaucoup plus légers que les ions. L'adimensionnement du modèle fait apparaître le ratio de masse entre électrons et ions, et l'objectif de ce chapitre est d'analyser rigoureusement ce problème singulièrement perturbé à l'aide de techniques d'hypocoercivité. Nous réalisons ensuite des simulations numériques qui confirment nos résultats théoriques. Nous présentons enfin un schéma préservant l'asymptotique du petit ratio de masse entre électrons et ions, ce qui permet de calculer efficacement la solution de ce problème. Le deuxième chapitre de cette thèse s'intéresse à l'étude mathématique formelle d'une équation cinétique fortement anisotrope. Les ions présents dans le plasma de la couche extérieure d'un tokamak (SOL - scrape-off layer) est soumis à une faible collisionnalité dans la direction parallèle au champ magnétique, contrairement à la direction perpendiculaire. Nous analysons alors une équation singulièrement perturbée du point de vue cinétique, et nous dérivons un modèle hybride cinétique-fluide utilisé par les physiciens étudiant la SOL. Dériver ce modèle réduit à partir de l'échelle cinétique nous permet de proposer des termes correctifs, enrichissant ainsi les propriétés physiques du modèle utilisé dans la littérature. Le troisième chapitre porte sur l'analyse mathématique et numérique de certaines équations de Fokker-Planck présentes en astrophysique et dans la physique du tokamak. Ces opérateurs de Fokker-Planck n'ont pas de trou spectral, et relaxent donc lentement la distribution d'espèces chargées vers l'équilibre. Nous le montrons rigoureusement, puis proposons une méthode numérique qui préserve la structure spectrale de ces opérateurs, ce qui permet de simuler avec précision les solutions de ces équations, même sur de longues périodes.

This thesis focuses on the mathematical analysis and numerical resolution of nuclear fusion plasma models. Plasma in a tokamak can be described by models based on first principles. However, these models would be too costly for numerical computations, even in the near future. Thus, to design machines for civil nuclear fusion exploitation, computationally inexpensive models are necessary. Such models can be derived using asymptotic techniques from kinetic plasma descriptions. Scaling arguments allow to identify small parameters that render the starting model singularly perturbed. Letting these parameters tend towards 0, formally or rigorously, yields reduced, limit models, which must then be studied from mathematical and numerical perspectives. The first chapter of this thesis focuses on a kinetic equation modeling the behavior of electrons in the core of a tokamak. In this case, electrons are much lighter than ions. Dimensional analysis of the model brings into play the mass ratio between electrons and ions. The objective of this chapter is to rigorously analyse this singularly perturbed problem using hypocoercivity techniques. We then perform numerical simulations to confirm our theoretical results. Finally, we present a scheme preserving the asymptotic behavior of a small electron-to-ion mass ratio, enabling efficient computation of the solution to this problem. The second chapter of this thesis focuses on the formal mathematical study of a highly anisotropic kinetic equation. Ions present in the plasma scrape-off layer (SOL) of a tokamak experience low collisionality in the direction parallel to the magnetic field, contrary to what happens in the perpendicular direction. Hence, we analyse a singularly perturbed kinetic equation and derive a hybrid kinetic-fluid model used by physicists studying the SOL. Deriving this reduced model from the kinetic scale enables us to propose corrective terms, thus enriching the physical properties of the model used in the literature. The third chapter centers on the mathematical and numerical analysis of Fokker-Planck equations appearing in tokamak physics as well as in astrophysics. These Fokker-Planck operators feature no spectral gap, and thus slowly relax the distribution of charged species towards equilibrium. We rigorously demonstrate this, and then propose a spectral numerical method allowing precise simulation of these equations even over long periods of time.