Transformations spéciales des quadriques

Special transformations of quadrics

• Auteur / Autrice : Jordi Emanuel Hernandez Gomez
• Direction : Mark Spivakovsky, Marcello Bernardara
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 11/06/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Michele Bolognesi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Paolo Stellari

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces K3

Fano, Variétés de

Quadriques

Mots clés libres

Transformations birationnelles spéciales

Variétés de Fano de dimension quatre de type K3

Surfaces K3

Variétés cubiques spéciales de dimension quatre

Pecial birational transformations

Fano fourfolds of K3 type

K3 surfaces

Special cubic fourfolds

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les transformations birationnelles spéciales des quadriques lisses. Nous obtenons un résultat de classification en dimensions 3 et 4. Dans ces deux cas, nous démontrons qu'il n'existe qu'un seul exemple. Pour la dimension 3, il est défini par le système linéaire de quadriques passant par une courbe rationnelle normale quartique. Pour la dimension 4, il est défini par le système linéaire de cubiques passant par une surface K3 non minimale de degré 10 avec 2 (-1)-droites disjointes qui n'est contenue dans aucune autre quadrique. Le lieu de base de la transformation inverse est en général une surface lisse du même type. De plus, nous montrons que les surfaces K3 correspondantes sont des partenaires de Fourier-Mukai non isomorphes. Ces surfaces sont également liées aux cubiques de dimension 4 spéciales. Plus précisément, nous montrons qu'une cubique générale dans le diviseur de Hassett des cubiques spéciales de discriminante 14 contient une telle surface. Il s'agit du premier exemple d'une famille de surfaces non rationnelles caractérisant les cubiques dans ce diviseur. L'étude des transformations birationnelles spéciales des quadriques est motivée par un exemple décrit par M. Bernardara, E. Fatighenti, L. Manivel, et F. Tanturri, qui ont fourni une liste de 64 nouvelles familles de variétés de Fano de type K3. De nombreux exemples dans leur liste donnent des variétés qui admettent des contractions birationnelles multiples, réalisées comme des éclatements des variétés de Fano le long des surfaces K3 non minimales. La nature des constructions implique que les surfaces K3 ont des catégories dérivées équivalentes. Nous répondons partiellement à la question naturelle : Pour quelles familles les surfaces K3 correspondantes sont-elles isomorphes, et pour quelles familles ne le sont-elles pas ?

In this thesis we study special self-birational transformations of smooth quadrics. We obtain a classification result in dimensions 3 and 4. In these two cases, we prove that there is only one example. In the case of dimension 3, it is given by the linear system of quadrics passing through a rational normal quartic curve. In the case of dimension 4, it is given by the linear system of cubic complexes passing through a non-minimal K3 surface of degree 10 with 2 skew (-1)-lines that is not contained in any other quadric. The base locus scheme of the inverse map is in general a smooth surface of the same type. Moreover, we prove that the corresponding pair of K3 surfaces are non-isomorphic Fourier-Mukai parters. These surfaces are also related to special cubic fourfolds. More precisely, we show that a general cubic in the Hassett divisor of special cubic fourfolds of discriminant 14 contains such a surface. This is the first example of a family of non-rational surfaces characterizing cubics in this divisor. The study of special birational transformations of quadrics is motivated by an example described by M. Bernardara, E. Fatighenti, L. Manivel, et F. Tanturri, who provided a list of 64 new families of Fano fourfolds of K3 type. Many examples in their list give varieties that admit multiple birational contractions realized as blow-ups of Fano manifolds along non-minimal K3 surfaces. The nature of the constructions implies that the corresponding K3 surfaces have equivalent derived categories. We partially answer the natural question: for which families the corresponding K3 surfaces are isomorphic, and for which families they are not?