Une approche aux invariants quantiques non-semisimples via l'algèbre supérieure

A higher algebraic approach to non-semisimple quantum invariants

• Auteur / Autrice : Benjamin Haioun
• Direction : Francesco Costantino, David Jordan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 25/06/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Damien Calaque
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bertrand Toën, Joan Millès, Nathan Geer
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Anna Beliakova, Claudia Scheimbauer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cobordisme

Algèbre

Topologie quantique

Mots clés libres

Topologie quantique

TQFT

Algèbre quantique

Invariants quantiques

Catégories Morita

Catégories tréssées

Quantum topology

TQFT

Quantum algebra

Quantum invariants

Morita categories

Braided categories

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les théories des champs quantiques topologiques (TQFT) construites à partir d'une catégorie enrubannée. Nous sommes particulièrement intéressés par le cas non-semisimple. Notre angle d'attaque est de faire communiquer la topologie de basse dimension avec l'algèbre supérieure. Dans un sens, les constructions explicites basées sur des écheveaux guident l'algèbre supérieure vers les exemples qu'on sait intéressants. Dans l'autre, l'hypothèse du cobordisme prédit de nouvelles constructions. Nous construisons des TQFTs de dimension 4 à partir de catégories non-semisimples et finies qui vérifient des conditions de non-dégénérescence. Cette contruction est un travail en collaboration avec Costantino, Geer et Patureau-Mirand. À l'inverse de la plupart des constructions non-semisimples précédentes, notre TQFT est bien définie sur tous les 4-cobordismes. Cette propriété était en fait prévisible par l'hypothèse du cobordisme. Notre construction est très explicite et nous étudions quelques exemples. Sous des hypothèses de non-dégénérescence supplémentaire, nous définissons des invariants de 3-variétés fermées décorées, qui sont calculés par notre TQFT sur une 4-variété bordante. Nous prouvons que ces invariants retrouvent les invariants de Lyubashenko renormalisés. Ils fournissent l'ingrédient de base des 3-TQFTs de DGGPR, qui sont des généralisations non-semisimples des TQFTs de Witten-Reshetikhin-Turaev. Nous défendons l'idée que ce point de vue est très fructueux pour étudier ces théories non-semisimples à la WRT, et qu'il permet de les voir comme des TQFTs pleinement étendues. Quand la catégorie enrubannée V est modulaire, la (3+1)-TQFT que nous définissons plus haut est inversible. Il avait déjà été montré par Brochier, Jordan, Snyder et Safronov que la catégorie V est inversible vue comme un objet d'une 4-catégorie de catégories tressées. Nous nous attendons naturellement à ce que la TQFT pleinement étendue Z associée à V par l'hypothèse du cobordisme retrouve celle que nous avons décrite plus haut. De plus, on devrait pouvoir retrouver les TQFTs de DGGPR en appliquant les mêmes idées que plus haut. Plus précisément, nous nous attendons à ce qu'il existe une condition de bord pleinement étendue à Z qui, composée avec la théorie Z évaluée sur une variété bordante, retrouve DGGPR. Nous montrons que l'inclusion de l'unité dans V, dont on s'attend à ce qu'elle soit associée à cette condition de bord, est, en effet, suffisamment dualisable. Nous montrons en fait qu'elle est quasiment, mais pas entièrement, 3-dualisable. Nous décrivons une version dite non-compacte de l'hypothèse du cobordisme, et définissons la notion associée d'objet dualisable non-compact. Ces objets donnent sous l'hypothèse du cobordisme des TQFTs partiellement définies, que nous appelons non-compactes. Cette dualisabilité partielle explique précisément pourquoi les TQFTs de DGGPR ne sont pas définies sur tous les 3-cobordismes. Nous conjecturons que l'hypothèse du cobordisme, appliquée à l'inclusion de l'unité et à V, retrouve, par une procédure que nous détaillons, les TQFTs de DGGPR. Sur les surfaces, la 4-TQFT Z est décrite par l'homologie de factorisation, qui est elle-même décrite par des catégories de modules sur les algèbres d'écheveaux internes de Brochier, Ben-Zvi et Jordan. Nous donnons une correspondance précise entre ces algèbres et les algèbres d'écheveaux à états de Lê, montrant en particulier qu'elles en sont une généralisation raisonnable. Notre preuve est explicite et montre directement que les algèbres d'écheveaux à états vérifient la propriété universelle qui définit les algèbres d'écheveaux internes. De plus, nous montrons des propriétés de recollement pour n'importe quelle catégorie enrubannée, un résultat que n'est pas connu pour d'autres généralisations des algèbres d'écheveaux à états.

In this manuscript, we study Topological Quantum Field Theories built from a ribbon tensor category. We are particularly interested in the non-semisimple case. The main angle of this work is to make low-dimensional topology and higher algebra communicate. In one direction, explicit constructions from skein theory guide the higher algebra towards interesting examples. In the other, the cobordism hypothesis predicts new constructions. We construct 4-dimensional TQFTs from non-semisimple finite tensor categories satisfying some non-degeneracy conditions. This construction is joint work with Costantino, Geer and Patureau-Mirand. Unlike most other non-semisimple constructions, this TQFT is defined on every 4-cobordism. This feature was actually predictable from the cobordism hypothesis. Our construction is very explicit and we study some examples. Under some extra non-degeneracy conditions, we also provide an invariant of decorated 3-manifolds which is computed by our TQFT on a bounding 4-manifold. We relate this invariant to the renormalized Lyubashenko's invariants. These invariants provide the building block of DGGPR 3-dimensional TQFTs, which are non-semisimple variants of the well-known Witten-Reshetikhin-Turaev TQFTs. We argue that this point of view is very fruitful to understand these non-semisimple WRT theories and enables one to understand them as fully extended TQFTs. In the case where the ribbon category V is modular, the (3+1)-TQFT described above is invertible. It is also shown by Brochier, Jordan, Snyder and Safronov that the category V is invertible when thought of as an object of a 4-category of braided tensor categories. It is natural to expect that the TQFT Z associated to V by the cobordism hypothesis coincides with the one described above. Moreover, one should be able to recover DGGPR theories in a similar way, in a fully extended setting. More precisely, it is expected that there exists a fully extended boundary condition to Z which, when composed with Z on a bounding manifold, recovers DGGPR. We show that the unit inclusion, expected to be associated to this boundary condition under the cobordism hypothesis, is indeed sufficiently dualizable. Actually, we show that it is almost, but not entirely, 3-dualizable. We describe a so-called non-compact version of the cobordism hypothesis, and introduce the associated notion of non-compact dualizable object. Such objects give a partially defined, which we call non-compact, TQFT under the cobordism hypothesis. This explains precisely why the DGGPR theories are not defined on every 3-cobordim. We conjecture that the cobordism hypothesis applied on the unit inclusion and the modular category recovers, through a construction we describe, the non-semisimple WRT theories. On surfaces, the fully extended 4-TQFT is known to give factorization homology, which is described as modules over the so-called internal skein algebras by Brochier, Ben-Zvi and Jordan. We relate these internal skein algebras to Lê's stated skein algebras and study some of their properties. We give an explicit proof, and show that stated skein algebras do satisfy the universal property defining internal skein algebras. In particular, we argue that internal skein algebras are a very reasonable generalization of stated skein algebras. Moreover, we show gluing properties of internal skein algebras in any ribbon category, a result which is not known for other generalizations of stated skein algebras.