Algorithmes de filtrage avec les observations distribuées par Poisson

Filtering algorithms with Poisson-distributed observations

• Auteur / Autrice : Olga Iufereva
• Direction : Aneel Tanwani, Dmitry Khlopin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique
• Date : Soutenance le 01/07/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-....) en cotutelle avec L’université fédérale de l'Oural
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Systèmes
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAAS - Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes - Laboratoire d'analyse et d'architecture des systèmes / LAAS
• Partenaire(s) de recherche : établissement délivrant conjointement le doctorat : Institut national des sciences appliquées (Toulouse ; 1961-....)
• Jury : Président / Présidente : Dimitri Peaucelle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jana De Wilijes
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Del Moral, Luca Schenato

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande automatique

Mots clés libres

Filtrage nonlinéaire

Filtrage linéaire

Observations distribuées par Poisson

Observations aléatoires

Filtre particulaire

Filtre continu-Discret

Nonlinear filtering

Linear filtering

Poisson-Distributed observations

Random observations

Particle filter

Continuous-Discrete filter

Résumé

La théorie du filtrage concerne essentiellement l’estimation optimale de l’état dans les systèmes stochastiques, surtout avec des mesures partielles et bruitées. Ce domaine, fortement lié à la théorie du contrôle, se concentre sur la synthèse d'estimateurs effectuant des calculs en temps réel pour minimiser l'erreur quadratique moyenne. La nécessité de telles estimations devient de plus en plus critique avec la prolifération de systèmes contrôlés par réseau, tels que les véhicules autonomes et les processus industriels complexes, où les processus d'observations sont soumis au caractère aléatoire de la transmission, ce qui donne lieu à des modèles d'information variables pour résoudre le problème d'estimation.Cette thèse aborde la tâche importante de l'estimation d'état dans les systèmes dynamiques stochastiques en temps continu lorsque les mesures sont disponible aux certains instants discrets defini par un processus aléatoire. En adaptant les méthodes d'estimation classiques, nous développons des équations pour un estimateur optimal d'état, explorons leurs propriétés et les aspect pratiques, et proposons et analysons des alternatives sous-optimales, présentant des parallèles avec les techniques existantes dans le domaine d'estimation classique lorsqu'elles sont appliquées aux processus d'observation Poisson-distribués.L'étude couvre trois classes de modèles mathématiques pour le système dynamique en temps continu et le processus d'observation discret. Tout d’abord, nous considérons des équations différentielles Ito-stochastiques avec le champ de vecteur Lipschitz et un coefficient de diffusion constant, alors que le processus d’observation discrète de dimension inférieure comprend la fonction nonlinéaire de l’état et un bruit Gaussien additif. Nous proposons des estimateurs d’état sous-optimaux continus-discrets, qui sont faciles à implémenter pour cette classe de systèmes. En supposant qu'un compteur de Poisson décrit les instants discrets auxquels les observations sont disponibles, nous calculons le processus de covariance d’erreur d’estimation. L'analyse est effectuée pour fournir les conditions de limitation du processus de covariance d'erreur, ainsi que la dépendance au taux d'échantillonnage moyen.Deuxièmement, nous considérons les systèmes dynamiques décrits par des chaînes de Markov en temps continu avec un espace d'état fini, et le processus d'observation est obtenu en discrétisant un processus stochastique conventionnel piloté par un processus de Wiener. Dans ce cas, nous montrons la convergence $L_1$ de l'estimateur optimal vers l'estimateur optimal classique (purement continu) (filtre de Wonham) quand l'intensité des processus de Poisson augmente.Enfin, nous étudions les filtres à particules continus-discrets pour les processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec des observations discrètes décrites par des fonctions d'état linéaires et un bruit Gaussien additif. Les filtres à particules ont gagné beaucoup d'intérêt pour l'estimation d'état dans les modèles à grande échelle avec des mesures bruitées où le calcul du gain optimal est soit coûteux en calcul, soit pas entièrement réalisable en raison de la complexité de la dynamique. Dans cette thèse, nous proposons des processus de diffusion de type McKean–Vlasov continus-discrets, qui servent de modèle de champ moyen pour décrire la dynamique des particules. Nous étudions plusieurs types de processus de champ moyen en fonction de la manière dont les termes de bruit sont inclus pour l'imitation du processus d'état et du modèle d'observation. Les particules résultantes sont couplées via des covariances empiriques qui sont mises à jour en temps discrets avec l'arrivée de nouvelles observations. Avec une analyse appropriée des premier et deuxième instants, nous montrons que sous certaines conditions sur les paramètres du système, les performances des filtres à particules se rapprochent du filtre optimal quand le nombre de particules augmente.

Filtering theory basically relates to optimal state estimation in stochastic dynamical systems, particularly when faced with partial and noisy data. This field, closely intertwined with control theory, focuses on designing estimators doing real-time computation while maintaining an acceptable level of accuracy as measured by the mean square error. The necessity for such estimates becomes increasingly critical with the proliferation of network-controlled systems, such as autonomous vehicles and complex industrial processes, where the observation processes are subject to randomness in transmission and this gives rise to varying information patterns under which the estimation must be carried out.This thesis addresses the important task of state estimation in continuous-time stochastic dynamical systems when the observation process is available only at some discrete time instants governed by a random process. By adapting classical estimation methods, we derive equations for optimal state estimator, explore their properties and practicality, and propose and evaluates sub-optimal alternatives, showcasing parallels to the existing techniques within the classical estimation domain when applied to Poisson-distributed observation processes.The study covers three classes of mathematical models for the continuous-time dynamical system and the discrete observation process. First, we consider Ito-stochastic differential equations with Lipschitz drift terms and constant diffusion coefficient, whereas the lower-dimensional discrete observation process comprises the nonlinear mapping of the state and additive Gaussian noise. We propose easy-to-implement continuous-discrete suboptimal state estimators for this system class. Assuming that a Poisson counter governs discrete times at which the observations are available, we compute the expectation or error covariance process. Analysis is carried out to provide conditions for boundedness of the error covariance process, as well as, the dependence on the mean sampling rate.Secondly, we consider the dynamical systems described by continuous-time Markov chains with finite state space, and the observation process is obtained by discretizing a conventional stochastic process driven by a Wiener process. For this case, the $L_1$-convergence of the derived optimal estimator to the classical (purely continuous) optimal estimator (Wonham filter) is shown with respect to increasing intensity of Poisson processes.Lastly, we study continuous-discrete particle filters for Ornstein-Uhlenbeck processes with discrete observations described by linear functions of state and additive Gaussian noise. Particle filters have gained a lot of interest for state estimation in large-scale models with noisy measurements where the computation of optimal gain is either computationally expensive or not entirely feasible due to complexity of the dynamics. In this thesis, we propose continuous-discrete McKean–Vlasov type diffusion processes, which serve as the mean-field model for describing the particle dynamics. We study several kinds of mean-field processes depending on how the noise terms are included in mimicking the state process and the observation model. The resulting particles are coupled through empirical covariances which are updated at discrete times with the arrival of new observations. With appropriate analysis of the first and second moments, we show that under certain conditions on system parameters, the performance of the particle filters approaches the optimal filter as the number of particles gets larger.