Periodic sequences and persistent homology applied to music : theoretical foundations and new results

Séquences périodiques et homologie persistente appliquées à la musique : fondements théoriques et nouveaux résultats

• Auteur / Autrice : Riccardo Carmine Gilblas
• Direction : Moreno Andreatta, Luisa Fiorot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/04/2024
• Etablissement(s) : Strasbourg en cotutelle avec Università degli studi (Padoue, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Carlos Agón
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ludovico Pernazza
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Paul Allouche, James Hughes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Musique et mathématiques

Mots clés libres

Séquences périodiques

Homologie persistante

Complexité harmonique

Musique

Periodic sequences

Persistent homology

Harmonic complexity

Music

Résumé

À partir de l’application répétée de l’opérateur somme à certaines séquences, en ce qui concerne leur longueur (appelée période), on observe des comportements intéressants et des propriétés mathématiques récurrentes. Certaines observations ont été faites par Anatol Vieru lui-même dans [18] : il a observé que la période des séquences tend généralement à augmenter quand on applique l’opérateur de somme, et pour certaines séquences cela reste toujours une puissance de 2. En outre, pour des séquences spécifiques, il y a des valeurs qui ont tendance à proliférer. La première formalisation mathématique a été faite par D.T. Vuza en 1982 ( [19]) et en [2] ont été présentés les résultats fondamentaux sur la décomposition en séquences idempotente et nilpotente (appelées réductibles et reproductibles respectivement). Dans[4] le problème de la prolifération de certaines valeurs dans les primitives de la séquence [2, 1, 2, 8, 4, 4, 8] P12 was studied in a computational way a été∈ étudié. Plus récemment, in [13] le formalisme des automates (cellular automata) a été utilisé pour étudier les propriétés duales de l’opérateur ∆. Nous résumons ici la théorie des séquences périodiques à valeurs modulairesdéveloppée jusqu’à présent et présentons les résultats obtenus sur la période des primitives et sur la prolifération des valeurs. Les résultats principaux (Lemma 1.3.5, Proposition 1.5.10, Theorems 1.5.6, 1.5.9 and 2.2.1, Section 2.3.2, Section 2.4) font partie d’un travail conjoint avec Luisa Fiorot et Alberto Tonolo (voir [8, 9]). L’homologie persistante a été utilisée dans la recherche mathématique et musicale, dans le but de relier les caractéristiques topologiques des codes-barres aux propriétés musicales des ensembles de données. En particulier, dans [23] l’homologie persistante est utilisée avec le Tonnetz pour le classement automatique des styles. Dans [24], la filtration Vietoris-Rips est utilisée pour calculer l’homologie persistante d’une partition de musique et pour afficher les caractéristiques thématiques des morceaux de musique Nous nous concentrons sur l’harmonie et, plus précisément, sur la complexité harmonique. Comme en [23], l’objectif est de reconstituer les propriétés harmoniques (densité harmonique) des séquences d’accords associées à des morceaux de musique. Nous utilisons deux bases de données musicales ([33, 26]) qui contiennent l’analyse harmonique du corpus des Beatles et de plusieurs corpus de musique classique respectivement. Par rapport à [23], nous abandonnons le Tonnetz au profit d’un objet plus souple : un graphe d’accords. Cela nous permet de modifier librement les relations entre les accords et aussi de considérer des distances non symétriques entre eux. Ce dernier aspect joue, à notre avis, un rôle central dans les progressions harmoniques, car il décrit bien l’asymétrie temporelle de la perception humaine de l’harmonie. Pour construire des complexes simpliciaux sur des graphes orientés, donc sans avoir une distance symétrique, nous utilisons la filtration Dowker, dont les avantages ont été présentés dans [22, 25].

From the repeated application of the sum operator to certain sequences, regarding their length (called period), interesting behaviors and recurrent mathematical properties are observed. Some observations were made by Anatol Vieru himself in [18]: he observed that the period of sequences generally tends to increase when applying the sum operator, and for some sequences it still remains a power of 2. In addition, for specific sequences, there are values that tend to proliferate. The first mathematical formalization was made by D.T. Vuza in 1982 ( [19]) and in [2] were presented the fundamental results on the decomposition into idempotent and nilpotent sequences (called reducible and reproducible respectively). In[4] the problem of the proliferation of certain values in sequence primitives [2, 1, 2, 8, 4, 4, 8] P12 was studied in a computational way was studied. More recently, in [13] the formalism of automata (cellular automata) has been used to study the dual properties of the operator . Here we summarize the theory of periodic sequences with modular valuesdeveloped so far and present the results obtained on the period of primitives and on the proliferation of values. The main results (Lemma 1.3.5, Proposition 1.5.10, Theorems 1.5.6, 1.5.9 and 2.2.1, Section 2.3.2, Section 2.4) are part of a joint work with Luisa Fiorot and Alberto Tonolo (see [8, 9]). Persistent homology has been used in mathematical and musical research, in order to link the topological characteristics of barcodes to the musical properties of data sets. In particular, in [23] the persistent homology is used with the Tonnetz for automatic classification of styles. In [24], the Vietoris-Rips filtration is used to calculate the persistent homology of a musical score and to display the thematic characteristics of musical pieces. As in [23], the objective is to reconstruct the harmonic properties (harmonic density) of chord sequences associated with music pieces. We use two musical databases ([33, 26]) which contain the harmonic analysis of the Beatles corpus and several classical music corpus respectively. Compared to [23], we abandon the Tonnetz in favor of a more flexible object: a graph of chords. This allows us to freely modify the relationships between agreements and also to consider non-symmetrical distances between them. This last aspect plays, in our opinion, a central role in harmonic progressions, because it describes well the temporal asymmetry of the human perception of harmony. To construct simplicial complexes on oriented graphs, therefore without having a symmetrical distance, we use Dowker filtration, the advantages of which have been presented in [22, 25].