Foncteurs polynomiaux sur les catégories FId .

Polynomial functors on the categories FId

• Auteur / Autrice : Antoine Feltz
• Direction : Christine Vespa, Frédéric Chapoton
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/02/2024
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Vladimir Dotsenko
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aurélien Djament
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Touzé, Gregory Arone

Mots clés

Mots clés contrôlés

Catégories (mathématiques)

Foncteurs, Théorie des

Mots clés libres

Foncteurs polynomiaux

Catégorie FI des ensembles finis et injections

Catégories FId

Polynomial functors

Category FI of finite sets and injections

Categories FId

Résumé

Dans cette thèse on introduit différentes notions (forte et faibles) de foncteurs polynomiaux sur les catégories FId et on étudie leur comportement. On adapte aussi la définition classique de foncteurs polynomiaux (basée sur les effets croisés) au cadre de FId, et on montre que les deux définitions obtenues coïncident. Les foncteurs polynomiaux sur FId s'avèrent plus dificiles à étudier que sur FI. Par exemple, les projectifs standards sont fortement polynomiaux sur FI et on montre que ce n'est plus le cas sur FId pour d > 1. On étudie alors diférents quotients polynomiaux de ces foncteurs. On amorce également l'étude de la polynomialité des foncteurs considérés par Ramos en calculant explicitement les foncteurs associés aux graphes linéaires. Cependant, la notion forte de foncteurs polynomiaux manque de propriétés essentielles concernant les phénomènes stables. On introduit alors les foncteurs faiblement polynomiaux en considérant le quotient par une sous-catégorie afin de supprimer les foncteurs problématiques. Alors que les foncteurs faiblement polynomiaux de degré 0 sur FI sont les foncteurs constants, on donne une description de ceux sur FId qui forment une catégorie plus complexe. On en déduit que l'adaptation directe des méthodes utilisées par Djament et Vespa pour FI ne fonctionne pas.

In this thesis we introduce different notions (strong and weak) of polynomial functors over the categories FId and we study their behaviour. We also adapt the classical definition of polynomial functors (based on cross effects) to the framework of FId, and we show that the two definitions obtained coincide. The polynomial functors over FId turn out to be harder to study than over FI. For example, the standard projectives are strong polynomial over FI and we show that this is no longer the case over FId for d > 1. We then study different polynomial quotients of these functors. We also initiate the study of the polynomiality of the functors considered by Ramos by explicitly calculating the functors associated with linear graphs. However, the strong notion of polynomial functors lacks essential properties concerning stable phenomena. We then introduce the weak polynomial functors by considering the quotient by a subcategory in order to eliminate the problematic functors. While the weak polynomial functors of degree 0 over FI are the constant functors, we give a description of those over FId which form a more complex category. We deduce that a direct adaptation of the methods used by Djament and Vespa for FI does not work.