Localisation de polymères en milieux aléatoires : obstacles de Bernoulli ou entrelacs aléatoires

Localization of polymers in random environments : Bernoulli obstacles or random interlacements

• Auteur / Autrice : Nicolas Bouchot
• Direction : Quentin Berger, Julien Poisat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Raphaël Cerf
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cédric Boutillier, François Simenhaus, Jiří Černý
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Perla Sousi, Bruno Schapira

Mots clés

Mots clés contrôlés

Gibbs, Mesures de

Modèles mathématiques

Polymères

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Polymères

Entrelac aléatoire

Marche aléatoire

Repliement

Capacité

Vecteur propre

Polymers

Random interlacements

Random walk

Folding

Capacity

Eigenvector

Résumé

Ce manuscrit a pour objet des modèles mathématiques de polymères placés en milieux aléatoires. La modélisation d'un tel système se fait à travers la mesure de polymère -- une transformation de Gibbs de la loi de la marche aléatoire simple sur Zd. Dans cette mesure, le hamiltonien quantifie l'énergie des configurations du polymère, leur apportant un coût énergétique complémentant leur coût entropique. Les modèles qui nous intéresseront sont ceux où le hamiltonien traduit l'interaction répulsive du polymère (de la marche aléatoire) avec un obstacle, lui-même pouvant être aléatoire. Pour un tel modèle, on dispose de deux mesures de polymère pertinentes : à environnement gelé (quenched) et à environnement moyenné (annealed). On considère dans une première partie un polymère en une dimension, que l'on place dans un champ d'obstacles de Bernoulli, c'est-à-dire que chaque site de Z a une probabilité donnée p d'être un obstacle, et ce indépendamment des autres sites. La mesure annealed d'un tel modèle est la marche aléatoire simple pénalisée par son volume, étudiée en dimension générale par Berestycki & Cerf (2021) et Ding et al. (2020). Ces travaux montrent un repliement du polymère dans une boule. On s'intéresse au cadre de la dimension une, ce qui permet d'obtenir des résultats d'une grande précision, notamment une limite d'échelle pour les extrémités du polymère ainsi que pour les fluctuations de sa taille. On identifie ainsi une transition de phase entre un régime à fluctuations gaussiennes et un régime sans fluctuation. On abordera ensuite une généralisation de ce modèle, en considérant que les probabilités p dépendent du site considéré. Lorsque ces paramètres sont i.i.d., on obtient une version désordonnée de la marche pénalisée par son volume. De nouveau, un travail antérieur (Berger et al. 2022) montre une limite d'échelle pour la taille du polymère. On montrera alors de nouveau une limite d'échelle pour les extrémités du polymère, ainsi que leurs fluctuations. La seconde partie du manuscrit s'intéresse à un polymère de longueur tN piégé dans un grand domaine DN ⊂ Zd, de taille typique N >>1. En le voyant comme une marche aléatoire piégée jusqu'à un temps tN, on se propose d'en étudier la géométrie de deux points de vue différents. Dans un premier temps, on s'intéressera à un point de vue ''extérieur'' en étudiant la capacité du polymère. La capacité est une fonctionnelle géométrique qui décrit à quel point un ensemble est ''grand'' pour une marche aléatoire simple ''venant de l'infini''. On montre alors un critère sur la longueur tN du polymère pour que sa capacité soit équivalente à celle de DN. Dans un second temps, on étudiera la géométrie du polymère à l'intérieur de DN. Le polymère peut être modélisé par la marche confinée dans DN, qui s'interprète comme la marche simple conditionnée à toujours rester dans DN. Il s'agit d'une marche sur les conductances cN(x,y) = φN (x)φN(y) ou φN est le premier vecteur propre de Dirichlet du laplacien discret DN. On montre que pour un sous-ensemble interne ΛN ⊂ DN, la trace de la marche confinée peut être couplée pour coïncider avec un entrelac modifié par les conductances tN sur ΛN. L'entrelac est un sous-ensemble aléatoire de Zd, introduit par Sznitman (2010) et généralisé par Teixeira (2009), qui peut se voir comme une soupe de trajectoires de marches aléatoires dont la densité est contrôlée par un paramètre u > 0. Pour montrer ce couplage, nous étudions les propriétés de φN dans un travail co-écrit avec Quentin Berger, et obtenons des résultats utiles indépendamment de notre travail sur la marche confinée. En application de ces deux travaux, on montre une asymptotique pour le temps de recouvrement de ΛN par la marche confinée.

This thesis treats of some mathematical models of polymers in random environments. The main mathematical object is the polymer measure -- a Gibbs transform of the simple random walk law on Zd. The Gibbs weight of a configuration is given by the Hamiltonian: a functional that attributes an energy cost to the configuration, which competes with its entropic costs. We are interested in the case where the Hamiltonian translates the repulsive interaction between the polymer (the random walk) and an obstacle set, that can itself be random. Such models involve two polymer measures: with a frozen environment (quenched) or with an averaged environment (annealed). In a first part, we consider a one-dimensional polymer placed in a field of Bernoulli obstacles, meaning that each site of Z has a given probability p of being an obstacle, independently from other sites. The annealed measure is the random walk penalized by its volume, which was studied in all dimensions by Berestycki & Cerf (2021) et Ding et al. (2020). These works showed that the polymer folds into a ball and fills it up. We are working in dimension one, which allows us to get extremely precise results notably a scaling limit for the edges of the polymer and the fluctuations of its size. We identify a phase transition from a Gaussian fluctuation regime to a no fluctuation regime. We then propose a generalization of this model in the form of varying parameters p for the obstacles. If we consider that the parameters are i.i.d., we get a disordered version of the random walk penalized by its range. A previous work cite showed a scaling limit for the size of the polymer. Again, we determine a scaling limit for the edges of the polymer, and their fluctuations. In a second part, we consider a polymer of length tN trapped in a large set DN ⊂ Zd, with typical size N >> 1. Seeing it as a random walk trapped until time tN, we study its geometry from two different points of view. We first take an “exterior” point of view by studying the capacity of this polymer. The capacity is a geometrical functional that quantifies the size of a set seen by a random walker that is coming “from infinity”. We show a criterion on the length tN of the polymer so that its capacity is equivalent to the capacity of DN. Then, we study the geometry of the polymer inside DN. The polymer can be modeled by the confined walk, which can be interpreted as the simple random walk conditioned to stay in DN forever. It is a walk on the conductances cN(x,y) = φN (x)φN(y), with φN the first Dirichlet eigenvector of the discrete Laplacian on DN. We show that on inner subsets ΛN ⊂ DN, the range of the confined walk can be coupled with random interlacements that is locally tilted by the conductances cN. The random interlacement is a subset of Zd, introduced by Sznitman (2010) and generalized by Teixeira (2009), that can be seen as a Poisson cloud of simple random walk trajectories whose density is controlled by a real parameter u > 0. To show this coupling, we study the properties of φN in a work in collaboration with Quentin Berger and obtain useful results that have an interest on their own. As an application to these two works, we determine the asymptotics of the covering time of ΛN by the confined walk.