Formes limites pour le modèle de dimères dans des domaines non simplement connexes

Limit shapes on the dimer model in multiply-connected domains

• Auteur / Autrice : Nikolai Kuchumov
• Direction : Cédric Boutillier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/09/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Marie Théret
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sunil Chhita, Béatrice de Tilière, Thierry Lévy
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Adrien Kassel, Nicolai Reshetikhin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Gibbs, Mesures de

Dimères

Perturbation (mathématiques)

Pavage (mathématiques)

Mots clés libres

Dimères

Pavages

Principe variationnel

Forme limite

Surfaces aléatoires

Dimers

Tilings

Variational principle

Limit shapes

Résumé

Cette thèse se compose de trois parties, le but de la première partie est d'étudier les pavages aléatoires de dominos d'un domaine non simplement connexe avec une fonction de hauteur définie sur l'espace de revêtement universel du domaine. Nous établissons un principe de grandes déviations pour la fonction de hauteur dans deux régimes asymptotiques. Le premier régime couvre tous les pavages de dominos du domaine. Une loi des grands nombres pour le changement de hauteur dans ce régime est également obtenue. Le second régime couvre les pavages de dominos avec un changement de hauteur asymptotique donné. La deuxième partie de la thèse est une extension de la première partie. Nous prouvons l'existence d'une forme limite pour le modèle de dimères sur des graphes bipartis périodiques planaires avec un domaine fondamental arbitraire et des poids périodiques arbitraires. La troisième partie est consacrée au calcul de la courbe arctique du diamant aztèque avec trous dans deux régimes. Le premier régime, appelé cas non contraint, correspond à la mesure uniforme sur l'ensemble des pavages par dominos. Le second régime, appelé cas contraint, pose une condition sur le changement de hauteur des dominos.

This thesis consists of three parts, the goal of the first part is to study random domino tilings of a multiply-connected domain with a height function defined on the universal covering space of the domain. We establish a large deviation principle for the height function in two asymptotic regimes. The first regime covers all domino tilings of the domain. A law of large numbers for height change in this regime will also be derived. The second regime covers domino tilings with a given asymptotic height change.The second part of thesis is an extension of the first part. We prove the existence of a limit shape for the dimer model on planar periodic bipartite graphs with an arbitrary fundamental domain and arbitrary periodic weights.The third part is devoted to computation of the arctic curve of the multiply-connected Aztec diamond in two regimes. The first regime, called an unconstrained case, corresponds to the uniform measure on a set of domino tilings. The second regime, constrained case, puts a condition on the height change of domino tilings.