Une nouvelle méthode numérique pour l'intéraction fluide-structure de corps minces dans des écoulements tridimensionels

A new numerical approach for the fluid-structure interaction of slender bodies immersed in three-dimensional flows

• Auteur / Autrice : Fabien Lespagnol
• Direction : Miguel Angel Fernandez Varela, Paolo Zunino
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/06/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Politecnico di Milano
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche de Paris (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Luca Formaggia
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lucia Gastaldi, Xavier Claeys
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Popp, Astrid Decoene

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des poutres

Navier-Stokes, Équations de

Écoulement tridimensionnel

Interaction fluide-structure

Mots clés libres

Interaction fluide-structure

Corps minces

Simulation

Fluid-Structure interaction

Slender bodies

Simulation

Résumé

Ce projet de doctorat a pour objectif de développer une nouvelle approche computationnelle pour la simulation de corps élancés immergés dans un écoulement tridimensionnel (3D). Grâce à la configuration géométrique particulière des structures élancées, nous pouvons modéliser ce problème par des équations couplées en dimensions mixtes pour lesquelles les équations d'équilibre du solide sont formulées dans un domaine unidimensionnel (1D). Les principaux avantages de l'approche que nous présentons dans ce manuscrit résident dans sa solide base mathématique. En effet, tandis que de nombreuses formulations mixtes donnent des solutions avec une faible régularité en raison d'opérateurs de trace mal posés, notre méthode réduite génère des solutions dans des espaces de Hilbert classiques. Dans le deuxième chapitre, nous établissons la formulation continue du problème couplé 3D d'interaction fluide-structure en considérant les équations de Navier-Stokes incompressibles pour la description de la dynamique du fluide et un modèle de poutre linéaire de Timoshenko pour la modélisation de la réponse de la structure élancée. Ces modèles sont couplés avec une version en dimensions mixtes des conditions d'interface fluide-structure, associant l'approche de domaine fictif (DF) avec la projection des conditions de couplage cinématique sur un espace de Fourier de dimension finie via des multiplicateurs de Lagrange. Nous développons ensuite une formulation discrète basée sur la méthode des éléments finis et un traitement semi-implicite des conditions de couplage Dirichlet-Neumann. Nous établissons la stabilité énergétique du schéma et fournissons des preuves numériques détaillées sur la précision et la robustesse de la formulation discrète. Dans les troisième et quatrième chapitres, nous effectuons une analyse mathématique sur l'erreur d'approximation de notre méthode réduite couplée, en examinant les erreurs de modélisation et d'approximation numériques résultant respectivement de la formulation en dimensions mixtes et de la méthode des éléments finis avec domaine fictif. Nous explorons ces aspects dans deux cadres simplifiés. Nous considérons d'abord un problème de Poisson 2D avec une frontière immergée statique et des conditions aux bords de Dirichlet non homogènes. Nous étendons ensuite cette analyse au problème de Stokes 2D stationnaire avec des conditions aux bords de type solides rigides sur l'interface immergée. Dans les deux cas, après avoir prouvé l'existence de solutions pour le problème réduit, nous prouvons sa convergence, lorsque la taille de l'obstacle tend vers zéro, vers le problème complet avec des conditions aux bords de Dirichlet classiques. Ensuite, nous analysons la discrétisation numérique du problème réduit. En particulier, pour pallier les limites de l'approche domaine fictif, nous proposons et analysons deux méthodes éléments finis alternatives, une méthode stabilisée et une méthode enrichie. Enfin, nous développons une formulation d'interaction fluide-structure 2D où de petites particules sont immergées dans un écoulement de Stokes, en appliquant des conditions de couplage d'interface réduites. Les propriétés du modèle réduit et des méthodes numériques correspondantes sont illustrées par des exemples numériques. L'utilisation d'un schéma semi-implicite pour la résolution du problème d'interaction fluide-structure 3D exige d'itérer de nombreuses fois sur les solveurs fluide et solide, ce qui peut être coûteux en termes de temps de calcul. Par conséquent, dans le dernier chapitre, nous introduisons un schéma faiblement couplé qui repose sur des conditions d'interface de Robin spécifiquement conçu pour une formulation 3D en dimensions mixtes et prouvons sa stabilité inconditionnelle. Nous fournissons également des preuves numériques de la précision du schéma explicite par plusieurs cas test.

This PhD dissertation aims to develop a new modeling and computational approach for the simulation of slender bodies immersed in three dimensional flows (3D). Thanks to the special geometric configuration of the slender structures, we can model this problem by mixed-dimensional coupled equations in which the solid balance equations are formulated in a one-dimensional (1D) domain. The main advantages of the approach we present in this manuscript lies in its strong mathematical basis. Indeed, while many standard mixed-dimensional formulations yield solutions with poor regularity due to ill-posed trace operators, our reduced order method generates solutions within standard Hilbert spaces. In the second chapter, we establish the continuous formulation of the 3D fluid-structure interaction coupled problem using incompressible Navier-Stokes equations for the description of the fluid dynamics and a linear Timoshenko beam model for modeling the response of the slender structure. These two models are coupled with a mixed-dimensional version of fluid-structure interface conditions, combining the fictitious domain (FD) approach with the projection of kinematic coupling conditions onto a finite-dimensional Fourier space via Lagrange multipliers. We then develop a discrete formulation based on the finite element method and a semi-implicit treatment of the Dirichlet-Neumann coupling conditions. We establish the energy stability of the scheme and provide extensive numerical evidence of the accuracy and robustness of the discrete formulation.In the third and fourth chapter we conduct a mathematical analysis on the approximation error of our reduced order coupled method, examining both the modeling and numerical approximation errors resulting from the mixed-dimensional formulation and the fictitious domain finite element method, respectively. We explore these aspects in two simplified frameworks. We first consider a two-dimensional Poisson problem (2D) with a fixed immersed boundary and non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. We then extend this analysis to the 2D stationary Stokes problem with rigid-body Dirichlet boundary conditions on the immersed interface. In both cases, after proving the existence of solutions for the reduced order problem, we prove its convergence, when the size of the obstacle is small, to the full order problem with standard Dirichlet boundary conditions. Subsequently, the numerical discretization of the reduced order problem is analyzed. In particular, to address the limitations of the fictitious domain approach, we propose and analyze two modified finite element method, one stabilized and one augmented. Finally, we develop a 2D fluid-structure interaction formulation where small particles are immersed in a Stokesian flow, applying reduced order interface coupling conditions. The properties of the reduced order model and the corresponding numerical methods are illustrated by some numerical experiments.Using a semi-implicit scheme for the resolution of the 3D fluid-structure interaction problem requires to iterate over the fluid and solid solvers multiple times, which can be computationally expensive. Subsequently, in the last chapter, we introduce a Robin-based loosely coupled scheme specifically designed for 3D mixed-dimensional formulation and prove its unconditional stability. We also provide numerical evidence of the accuracy of the explicit scheme through several test cases.