Points entiers, monodromie, annulation générique et la transformation de Fourier-Mukai

Integral points, monodromy, generic vanishing and Fourier-Mukai transform

• Auteur / Autrice : Haohao Liu
• Direction : Anna Cadoret
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/06/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : François Loeser
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Krämer, Javier Fresán, Claude Sabbah, François Charles
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Schnell, Giuseppe Ancona

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Transformations de

D-modules, Théorie des

Tore (géométrie)

Groupes de monodromie

Shimura, Variétés de

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Points entiers

Variétés de Shimura

Monodromie

Transformation de Fourier-Mukai

Tore complexe

Faisceaux pervers

Integral points

Shimura varieties

Monodromy

Fourier-Mukai transform

Complex torus

Perverse sheaves

Résumé

Cette thèse est une compilation de plusieurs résultats vaguement liés. Ils concernent la non-densité des points entiers sur les variétés algébriques, la méthode de Lawrence-Venkatesh-Sawin et la géométrie analytique complexe. Dans Chapitre 2, parallèlement au principe alternatif d'Ullmo et Yafaev sur les points rationnels des variétés de Shimura, nous montrons que la conjecture de Lang sur les points intégraux des variétés de Shimura est soit vraie, soit très fausse. Le Chapitre 3 est un complément à la comparaison des monodromies dans les travaux respectifs de Lawrence-Sawin et Krämer-Maculan. Nous prouvons qu'il existe de nombreux caractères, tels que le groupe de monodromie correspondant est normal dans le groupe tannakien générique. Le Chapitre 4 contient un théorème de l'annulation générique pour les variétés dans la classe Fujiki C. En particulier, cela s'applique aux variétés algébriques complexes propres lisses ainsi qu'aux variétés kählériennes compactes. Dans Chapitre 5, nous prouvons un analogue de la formule d'inversion de Fourier pour la transformation de Fourier-Mukai sur des tores complexes. Il corrige une inexactitude dans la littérature. En application, nous retrouvons la classification de Matsushima-Morimoto des fibrés vectoriels homogènes sur des tores complexes. Le Chapitre 6 est une transformation de Fourier-Mukai analytique sur les D-modules, dont la version algébrique a été étudiée par Laumon et Rothstein. Nous étendons leur résultat de dualité des variétés abéliennes aux tores complexes. En application, nous réprouvons le théorème de Morimoto, selon lequel sur un tore complexe, tout fibré vectoriel admettant une connexion admet une connexion intégrable.

This dissertation is a compilation of several loosely related results.They concern the nondensity of integral points on algebraic varieties, the Lawrence-Venkatesh-Sawin's method and complex analytic geometry.In Chapter 2, parallel to Ullmo and Yafaev's alternative principle on rational points of Shimura varieties, we show that Lang's conjecture about integral points on Shimura varieties is either true or very false.Chapter 3 is a complement to the monodromy comparison step in Lawrence-Sawin's and Krämer-Maculan's respective work. We prove that there are many characters, such that the corresponding monodromy group is normal in the generic Tannakian group.Chapter 4 contains a generic vanishing theorem for Fujiki class C. In particular, it applies to smooth proper complex algebraic varieties as well as compact Kähler manifolds. In Chapter 5, we prove an analog of the Fourier inversion formula for the Fourier-Mukai transform on complex tori. It corrects a misstatement in the literature. As an application, we recover Matsushima-Morimoto's classification of homogeneous vector bundles on complex tori.Chapter 6 is a lift of the analytic Fourier-Mukai to D-modules, whose algebraic version is studied by Laumon and Rothstein. We extend their duality result from abelian varieties to complex tori. As an application, we reprove Morimoto's theorem that on a complex torus, every vector bundle admitting a connection admits a flat connection.