Comportement en temps long de quelques processus de Markov, et applications aux algorithmes stochastiques

Long-time behavior of some Markov processes, and application to stochastic algorithms

• Auteur / Autrice : Lucas Journel
• Direction : Pierre Monmarché
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/06/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Arnaud Guyader
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tony Lelièvre, Andreas Eberle, Marylou Gabrié, Mireille Bossy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Herzog, Nicolas Champagnat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithme de Gibbs

Échantillonnage (statistique)

Processus stochastiques

Markov, Processus de

Mots clés libres

Algorithme stochastique

Hypocoercivité

Couplage

Stochastic algorithm

Hypocoercivity

Coupling method

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement à long terme de certains processus de Markov apparaissant dans les algorithmes stochastiques. Ces algorithmes sont des variations autour des méthodes de Monte Carlo, qui constituent une classe de techniques d'échantillonnage de mesures de probabilité basées sur des processus de Markov. La thèse est structurée en trois parties, chacune traitant d'un type d'algorithme différent. Les chapitres 1 et 2 portent sur l'échantillonnage des mesures de Gibbs à l'aide de deux processus cinétiques différents. Le chapitre 3 traite de l'optimisation non-convexe en grande dimension par recuit simulé, tandis que le chapitre 4 étudie l'optimisation à l'aide d'un processus commuté.item Les chapitres 5, 6 et 7 traitent de l'échantillonnage de mesures quasi-stationnaires basé sur le processus de Fleming-Viot, un système de particules de type Moran.La motivation pour ces algorithmes, et donc pour la plupart des recherches menées dans le cadre de cette thèse, provient de dynamique moléculaire et d'applications en statistiques. En appliquant des méthodes de couplage et d'équations aux dérivées partielles, nous établirons des garanties de convergence pour ces algorithmes.

This thesis is devoted to the study of the long-time behavior of some Markov processes arising in stochastic algorithms. These algorithms are variations of Monte Carlo methods, which constitute a class of techniques for sampling probability measures based on Markov processes. The thesis is structured into three parts, each addressing a different type of algorithm.Chapters 1 and 2 focus on sampling Gibbs measures using two distinct kinetic processes. Chapter 3 explores non-convex and high-dimensional optimization through simulated annealing, while Chapter 4 investigates optimization using a switched process.Chapters 5, 6, and 7 delve into sampling quasi-stationary distributions based on the Fleming-Viot process, a Moran-type particle system.The motivation for these algorithms, and thus much of the research conducted for this thesis, stems from molecular dynamics and statistics applications. By applying coupling and partial differential equation methods, we aim to establish convergence guarantees for these algorithms.