Contributions autour de l'équation de Boltzmann et certaines de ses variantes

Contributions around the Boltzmann equation and some of its variants

• Auteur / Autrice : Thomas Borsoni
• Direction : Laurent Boudin, Laurent Desvillettes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/06/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne-Laure Dalibard Roux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maria Groppi, Véronique Bagland
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bernt Wennberg, Pauline Lafitte-Godillon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Molécules polyatomiques

Théorie du transport

Gaz, Théorie cinétique des

Mots clés libres

Théorie cinétique

Modélisation

Équations aux dérivées partielles

Méthodes entropiques

Gaz polyatomiques

Équation de Boltzmann-Fermi-Dirac

Kinetic theory

Modeling

Partial differential equations

Entropy methods

Polyatomic gases

Boltzmann-Fermi-Dirac equation

Résumé

Nous étudions certaines variantes de l'équation de Boltzmann, cette dernière décrivant via une approche classique les gaz raréfiés simples et monoatomiques à l'échelle mésoscopique. Dans un premier temps, nous proposons un cadre général de modélisation de Boltzmann des gaz polyatomiques, englobant une large classe de modèles pré-existants et permettant d'en construire de nouveaux. D'abord présenté pour un gaz simple, ce cadre est ensuite étendu aux mélanges gazeux, pour lesquels on autorise des réactions chimiques binaires. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à un type de gaz polyatomique singulier, au sein duquel les collisions sont résonantes. Nous prouvons une propriété de compacité pour l'opérateur linéarisé lié à ce modèle. Afin de rendre plus flexible le cadre résonant, nous proposons ensuite un formalisme de Boltzmann pour des collisions quasi-résonantes, étudions ses propriétés-clés et menons des expériences numériques pour étayer notre compréhension de celles-ci. Enfin, dans un troisième temps, nous nous tournons vers une équation de Boltzmann incluant le principe d'exclusion de Pauli, utile notamment pour la description de la distribution d'électrons dans les semi-conducteurs. Nous développons une méthode permettant de transférer certaines inégalités fonctionnelles, liées à l'entropie, connues dans le cas classique, vers ce cas quantique. Par suite, grâce à l'obtention de ces nouvelles inégalités, nous obtenons un taux explicite de relaxation à l'équilibre pour les solutions de l'équation de Boltzmann-Fermi-Dirac homogène pour les potentiels durs avec cut-off.

We study some variants of the Boltzmann equation, the latter describing, via a classical approach, single and monatomic rarefied gases at the mesoscopic scale. First, we propose a general framework for Boltzmann modelling of polyatomic gases, encompassing a wide class of pre-existing models and allowing to build new ones. Primarily presented for a single gas, the framework is then extended to mixtures, within which we allow binary chemical reactions. Second, we focus on a singular type of polyatomic gas, the molecules of which undergo resonant collisions, and prove a compactness property of the linearized operator related to this model. In order to make the latter resonant framework more flexible, we then propose a Boltzmann formalism with quasi-resonant collisions, study its key properties and conduct numerical experiences to support our understanding of them. Third, we turn our attention towards a Boltzmann equation which includes Pauli's exclusion principle, notably used in the study of electron distributions in semi-conductors. We develop a method that allows to transfer some functional inequalities, related to entropy, which are known in the classical case, to this quantum case. As a consequence, we use these new inequalities to obtain an explicit rate of relaxation to equilibrium for solutions to the homogeneous Boltzmann-Fermi-Dirac equation with cut-off hard potentials.