Marches aléatoires affamées

Starving random walks

• Auteur / Autrice : Léo Regnier
• Direction : Olivier Bénichou, Maxim Dolgushev
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 21/06/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique théorique de la matière condensée (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Grégory Schehr
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bénédicte Haas, Kirone Mallick
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : David S. Dean, Julien Randon-Furling

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien

Marches aléatoires (mathématiques)

Monte-Carlo, Méthode de

Physique mathématique

Mots clés libres

Temps de sorties

Marche aléatoire

Statistiques

Simulations numériques

Monte Carlo

Exit times

Random walks

Statistics

Numerical simulations

Monte Carlo

Résumé

L'exploration de l'environnement par une marche aléatoire et l'impact du domaine visité sur la dynamique future du même chercheur forment un mécanisme complexe. Que ce soit la géométrie complexe du domaine visité, les corrélations entre les sauts, ou les interactions dynamiques (en raison de facteurs tels que la famine ou l'accélération/décélération lors de la consommation de ressources), de multiples éléments entrent en jeu lorsqu'il s'agit de ces systèmes en apparence simples mais qui présentent une phénoménologie riche. Celle-ci est organisée en six chapitres, introduisant progressivement un niveau de complexité supplémentaire par rapport au précédent. Dans le premier chapitre, nous avons introduit les âges des records τ_k entre le k^th et (k+1)^th record afin de revisiter le problème de la dynamique des records. En considérant cette variable aléatoire et en utilisant la théorie du renouvellement, nous avons montré qu'il était possible d'obtenir la distribution complète des records et des maxima de la marche aléatoire, ainsi que les temps des derniers et prochains records pour une grande variété de modèles, tels que le mouvement brownien asymétrique, la marche ''run-and-tumble'', et même la marche aléatoire avec réinitialisation au point de départ. Dans le second chapitre, de manière très similaire au premier, nous avons introduit le temps τ_k, représentant la durée entre les visites du k^th et du (k+1)^th nouveaux sites. Nous avons démontré que l'incorporation de cette variable aléatoire permet une caractérisation complète de la dynamique d'exploration dans le cas unidimensionnel, non seulement pour des sauts symétriques entre plus proches voisins, mais aussi dans des scénarios ''run-and-tumble'' ou asymétriques. Dans le troisième chapitre, nous avons étendu notre analyse pour caractériser le temps entre les visites de nouveaux sites dans un contexte plus général, en considérant des marches aléatoires markoviennes (sans mémoire) dans n'importe quelle dimension et pour des processus de sauts généraux. Le quatrième chapitre a présenté une première approche des marches aléatoires non-markoviennes interagissant avec leur domaine visité, en élucidant comment cette interaction influence la dynamique d'exploration. Le cinquième chapitre s'est plongé plus en avant dans le domaine des marches aléatoires non-markoviennes en caractérisant les équivalents de τ_k pour les processus unidimensionnels, les âges de records, qui jouent également un rôle crucial dans les statistiques des valeurs extrêmes. Enfin, dans le sixième chapitre, nous avons synthétisé les connaissances acquises dans ces travaux pour déduire la dynamique de la marche aléatoire affamée, en faisant un détour par la théorie des statistiques des valeurs extrêmes. Dans l'ensemble, cette thèse fournit aux lecteurs les outils nécessaires pour une compréhension plus approfondie de la dynamique d'exploration. 15k

The exploration of the environment by a forager and the impact of foraging on the future dynamics of the same forager form a complex mechanism. Whether it is the intricate geometry of the visited domain, correlations between jumps, or dynamic interactions (due to factors such as starvation or acceleration/deceleration upon resource consumption), multiple elements come into play when dealing with these seemingly simple systems that exhibit a rich phenomenology.To briefly summarize, this thesis is organized into six chapters, each progressively introducing an additional layer of complexity compared to the preceding one.In the first chapter, we introduced the record ages τ_k between the k^th et du (k+1)^th records to revisit the records' dynamics. By considering this random variable and using renewal theory, we have shown that one can obtain the entire distribution of the records and the maxima of the RW, as well as the times of the last and next records for a large variety of models, such as the asymmetric Brownian motion, the run-and-tumble particle and even the resetting RW. In the second chapter, similarly to the first chapter, we introduced the time τ_k, representing the duration between the visits to the k^th et du (k+1)^th new sites. We demonstrated that incorporating this random variable provides a comprehensive characterization of exploration dynamics in the one-dimensional case, not only for symmetric nearest neighbor jumps but also for persistent or asymmetric scenarios. In the third chapter, we extended our analysis to characterize the time between visits to new sites in a more general context, considering Markovian (memoryless) random walks in any dimension and for general jump processes. The fourth chapter presented an initial exploration into non-Markovian random walks interacting with their visited domain, elucidating how this interaction influences exploration dynamics. The fifth chapter delved deeper into the realm of non-Markovian random walks by characterizing the equivalents of τ_k for one-dimensional processes on a semi-infinite medium, specifically the record ages, which also play a crucial role in extreme value statistics. Finally, in the sixth chapter, we synthesized the knowledge acquired from these results to deduce the dynamics of the starving random walk, taking a detour through the theory of extreme value statistics. Overall, this thesis equips readers with the tools for a more profound understanding of exploration dynamics.