Schémas numériques pour les équations dispersives non linéaires : analyse à faible régularité, cadre aléatoire et préservation de symétries
Auteur / Autrice : | Yvonne Alama Bronsard |
Direction : | Katharina Schratz |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 03/05/2024 |
Etablissement(s) : | Sorbonne université |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....) |
Jury : | Président / Présidente : Jérémie Szeftel |
Examinateurs / Examinatrices : Albert Cohen, Frédéric Lagoutière, Gigliola Staffilani | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Besse, Ilya Chevyrev |
Mots clés
Résumé
Le travail présenté dans cette thèse relève du domaine de l'analyse numérique et s'appuie sur des outils issus de l'étude des équations aux dérivées partielles (EDP). Nous nous concentrons sur les discrétisations temporelles des équations dispersives non linéaires. L'objectif est de réduire les hypothèses de régularité nécessaires lors de la conception et de l'analyse des méthodes numériques, afin de traiter les dynamiques à faible régularité.La partie I de la thèse introduit de nouveaux schémas à faible régularité, adaptés à des domaines bornés génériques. Le chapitre 2 présente des résultats de convergence au premier et au second ordre pour l'approximation de l'équation de Gross-Pitaevskii, lorsque la donnée initiale et le potentiel sont peu réguliers. Le chapitre 3 généralise la construction de ces schémas aux ordres supérieurs, et pour une classe générale d'équations d'évolution non linéaires.La partie II est constituée du chapitre 4, qui génère des constructions d'ordre élevé dans le cadre de conditions initiales aléatoires.Finalement, la partie III se consacre à l'étude en temps long d'équations dispersives, et de leurs invariants, en considérant des schémas préservant leur structure. Elle débute avec le chapitre 5, qui introduit un nouvel intégrateur symétrique pour l'équation de Schrödinger non linéaire, et démontre des résultats de convergence à des taux fractionnaires, en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Par la suite, le chapitre 6 étend cette construction symétrique aux ordres supérieurs et pour la résolution numérique d'une classe générale d'équations dispersives. Des simulations numériques montrent que ces nouveaux schémas symétriques présentent d'excellentes propriétés de préservation de la structure.Les extensions aux ordres supérieurs développées aux chapitres 3, 4, et 6 se fondent sur de nouvelles techniques d'arbres décorés, inspirées par le champ des EDP stochastiques singulières, via la théorie des structures de régularité.