Étude mathématique d’équations de type Cahn-Hilliard dégénérées

Mathematical study of degenerate Cahn-Hilliard equations

• Auteur / Autrice : Charles Elbar
• Direction : Benoît Perthame, Emmanuel Grenier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/05/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Virginie Ehrlacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luis Manuel Lopes Neves de Almeida, Filippo Santambrogio, Nicolas Vauchelet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Harald Garcke, Alain Miranville

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Dynamique des fluides

Cellule de Hele-Shaw

Équations aux dérivées partielles

Équations de Cahn-Hilliard

Mots clés libres

Cahn-Hilliard

Hele-Shaw

EDP

Comportement asymptotique

Flow gradients

Cahn-Hilliard

Hele-Shaw

PDE

Asymptotic behaviour

Gradient flows

Résumé

Nous étudions des équations de type Cahn-Hilliard, équation qui fut introduite pour décrire la séparation de phases dans les systèmes multi-composants. Les résultats obtenus dans ce travail ont été motivés par des applications biologiques, notamment la formation de tissus et la croissance de tumeurs, ainsi que par des applications physiques, tels que les écoulements de fluides impliquant des phénomènes de tension de surface. La première partie de cette thèse est une analyse de la relation entre l'équation de Cahn-Hilliard et les modèles Hele-Shaw, qui sont fréquemment utilisés pour modéliser l'écoulement des fluides ou l'évolution de tumeurs cancéreuses dans des espaces confinés. Nous examinons en particulier comment obtenir les modèles Hele-Shaw dans la limite dite incompressible de l'équation de Cahn-Hilliard. La deuxième partie de la thèse se concentre sur l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard non-locale (et ses variations) et sa convergence vers l'équation locale. Cette équation, qui peut être dérivée rigoureusement à partir d'un système de particules en interaction, est obtenue en remplaçant le laplacien, qui est un terme local, par une approximation non-locale prenant en compte les interactions à longue distance entre les composants. Nous montrons que la solution de l'équation non-locale converge vers la solution de l'équation locale dans la limite d'interaction à courte distance. La troisième partie de la thèse se penche sur l'étude des modèles de fluides plus classiques, tels que les équations d'Euler et de Navier-Stokes, qui intègrent des phénomènes de tension de surface. Ces modèles sont utilisés pour décrire les écoulements de fluides ou les mouvements de cellules dans lesquels les forces interfaciales jouent un rôle important. La quatrième partie juxtapose la théorie cinétique, traditionnellement employée pour la représentation de phénomènes physiques à une échelle mésoscopique, avec l'équation de Cahn-Hilliard. Notre étude se concentre spécifiquement sur l'équation de Vlasov-Cahn-Hilliard, qui décrit les processus de transition de phase.

We study Cahn-Hilliard type equations, an equation that was introduced to describe phase separation in multi-component systems. The results obtained in this work have been motivated by biological applications, such as tissue formation and tumor growth, as well as physical applications, such as fluid flows involving surface tension phenomena. The first part of this thesis is an analysis of the relationship between the Cahn-Hilliard equation and the Hele-Shaw models, which are frequently used to model fluid flow or the evolution of cancerous tumors in confined spaces. In particular, we examine how to obtain Hele-Shaw models in the so-called incompressible limit of the Cahn-Hilliard equation. The second part of the thesis focuses on the study of the non-local Cahn-Hilliard equation (and its variations) and its convergence to the local equation. This equation, which can be derived rigorously from a system of interacting particles, is obtained by replacing the Laplacian, which is a local term, by a non-local approximation taking into account the long range interactions between the components. We show that the solution of the non-local equation converges to the solution of the local equation in the short range interaction limit. The third part of the thesis focuses on the study of more classical fluid models, such as the Euler and Navier-Stokes equations, which incorporate surface tension phenomena. These models are used to describe fluid flows or cell motions in which interfacial forces play an important role. The fourth part juxtaposes kinetic theory, traditionally used to represent physical phenomena on a mesoscopic scale, with the Cahn-Hilliard equation. Our study focuses specifically on the Vlasov-Cahn-Hilliard equation, which describes phase transition processes.