Modélisations mathématiques et numériques sur le Sweeping process : applications à la dynamique du contact

Mathematical and numerical modeling on the Sweeping process : applications to contact dynamics

• Auteur / Autrice : Vo Anh Thuong Nguyen
• Direction : Mikaël Barboteu, Stéphane Abide, Serge Dumont, Florent Nacry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 12/11/2024
• Etablissement(s) : Perpignan
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Énergie environnement (Perpignan ; 1999-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Modélisation pluridisciplinaire et simulations (Perpignan)
• Jury : Président / Présidente : Mircea Sofonea
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Térence Bayen, Aline Lefebvre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Samir Adly, Mathieu Renouf

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse mathématique

Modèles mathématiques

Mécanique du contact

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Dynamique du contact

Sweeping process

Inclusion différentielle

Contact dynamics

Sweeping process

Differential inclusion

Résumé

Basé sur l'importance croissante de comprendre les médias granulaires et leurs comportements dans diverses industries, ce travail propose une nouvelle méthode différente de la Méthode des Éléments Discrets (Discrete Element Method-DEM) et de l'approche de la Dynamique de Contact Non Lisse (Non-Smooth Contact Dynamics-NSCD) pour modéliser la dynamique granulaire. Nous nous concentrons sur un processus de balayage discontinu de Moreau de second ordre pour modéliser la dynamique de contact, en incorporant la régularisation de Moreau-Yosida avec le paramètre ( alpha ) pour développer un modèle de contact régulier. Nous proposons la méthode textbf{Improved Normal Compliance} (INC) pour assurer la conservation de l'énergie et employons une combinaison de la méthode de Newmark et de textbf{Primal-Dual Active Set} (PDAS) pour traiter la non-linéarité. Cette étude vise à comparer l'efficacité de notre approche avec d'autres techniques de modélisation numérique, telles que DEM et NSCD via la méthode de Gauss-Seidel Non Linéaire (Nonlinear Gauss Seidel method-NLGS), en se concentrant sur l'amélioration de la conservation de l'énergie et du coût computationnel. En outre, en relation avec le processus de balayage de Moreau, pour établir l'existence d'une solution, il est assez naturel d'aller au-delà de la convexité avec la prox-régularité ou la classe duale associée à l'ensemble prox-régulier qui est un ensemble fortement convexe. De plus, la régularité métrique sert d'outil utile pour étudier la faible convexité de sous-ensembles spécifiques. Plus précisément, nous nous concentrerons sur deux idées principales. Premièrement, nous considérons les concepts de textbf{Fonction de distance la plus éloignée aux ensembles fortement convexes dans les espaces de Hilbert}. D'une part, nous montrons que la forte convexité d'un ensemble est équivalente à la semi-concavité de sa fonction de distance la plus éloignée associée. D'autre part, nous établissons que la distance la plus éloignée d'un point à un ensemble fortement convexe est la distance la plus éloignée minimale au point donné à partir de boules fermées appropriées séparant l'ensemble et le point. Deuxièmement, nous nous concentrons sur textbf{la sous-régularité métrique et les propriétés de régularité omega cdot) -normales}. Nous établissons par une condition d'ouverture la sous-régularité métrique d'une multi-application avec la régularité omega cdot) -normale soit du graphe, soit des valeurs. Divers résultats de préservation pour les ensembles prox-réguliers et sous-lisses sont également fournis.

Based on the growing importance of understanding granular media and their behaviors in various industries, this work proposes a new method different from the Discrete Element Method (DEM) and the Non-Smooth Contact Dynamics (NSCD) approach to model granular dynamics. We focus on a discontinuous Moreau second-order sweeping process for modeling contact dynamics, incorporating the Moreau-Yosida regularization with parameter alpha to develop a regular contact model. We propose the textbf{Improved Normal Compliance} (INC) method to ensure energy conservation and employ a combination of the Newmark method and textbf{Primal-Dual Active Set} (PDAS) to address nonlinearity. This study aims to compare the efficiency of our approach with other numerical modeling techniques, such as DEM and NSCD via Nonlinear Gauss Seidel method (NLGS), focusing on improving energy conservation and computational cost. Furthermore, related to the Moreau sweeping process, to establish the existence of a solution, it is quite natural to extend beyond convexity with prox-regularity or the dual class associated with the prox-regular set, which is a strongly convex set. Additionally, metric regularity serves as a useful tool for studying the weak convexity of specific subsets. More precisely, we will focus on two main ideas. First, we consider the concepts of textbf{Farthest distance function to strongly convex sets in Hilbert spaces}. On one hand, we show that the strong convexity of a set is equivalent to the semiconcavity of its associated farthest distance function. On the other hand, we establish that the farthest distance of a point to a strongly convex set is the minimum farthest distance to the given point from suitable closed balls separating the set and the point. Second, we concentrate on textbf{Metric subregularity and omega cdot)-normal regularity properties}. We establish through an openness condition the metric subregularity of a multimapping with normal omega cdot) -regularity of either the graph or values. Various preservation results for prox-regular and subsmooth sets are also provided.