Inférence rapide pour des modèles de copules à un facteur en grande dimension et méthodes de détection de rupture multivariées avec applications aux données de marchés financiers

Fast inference for high-dimensional one-factor copula models and methods for multivariate change-point detection with applications to stock market data

• Auteur / Autrice : Alex Verhoijsen
• Direction : Ivan Kojadinovic, Pavel Krupskiy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/03/2024
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec University of Melbourne
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau - Laboratoire de mathématiques et de leurs applications
• Jury : Président / Présidente : Ostap Okhrin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ivan Kojadinovic, Pavel Krupskiy, Elif Acar, Christian Paroissin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ostap Okhrin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rupture (statistique)

Statistique mathématique -- Théorie asymptotique

Copules (mathématiques)

Mots clés libres

Théorie asymptotique

Détection de rupture

Copules

Asymptotic theory

Change-Point detection

Copulas

Résumé

Les modèles à base de copules sont souvent utilisés pour modéliser la dépendance entre variables lorsque la dimension des données est faible. Lorsque la dimension augmente, de nombreux problèmes pratiques apparaissent malheureusement. Dans le cas où les données sont des séries temporelles, il est en plus nécessaire de tester leur stationnarité préalablement à toute modélisation, ce qui nécessite des méthodes adéquates capables de détecter des écarts à la stationnarité.Nous commençons ce document par une introduction aux outils mathématiques nécessaires à la compréhension des modèles à base de copules et des méthodes de détection de rupture.La première contribution de ce travail est la proposition d'une méthode d'inférence rapide pour des modèles de copules à un facteur en grande dimension. Nous proposons un modèle à un facteur dont la dépendance résiduelle est modélisée par un modèle de copules à un facteur. La méthode d'estimation associée permet d'identifier les facteurs Gaussiens sous-jacents, le facteur du modèle de copules ainsi que le paramètre de la copule paramétrique correspondante. Les propriétés asymptotiques pour un modèle avec un, deux ou trois facteurs Gaussiens sont établies et sont complétées par des simulations de Monte Carlo dans le cas d'échantillons de tailles finies. Une application à des données boursières liées aux SP500 montre comment le modèle proposé peut être utilisé pour modéliser la dépendance entre un grand nombre de variables dans des situations réalistes.La deuxième contribution de ce travail est la proposition d'une méthode de surveillance non paramétrique n'ayant pas un horizon de surveillance fini et permettant de détecter des changements dans la distribution de données multivariées à l'aide de la fonction de répartition empirique. Nous établissons les propriétés asymptotiques du détecteur sous-jacent et nous présentons de nombreuses simulations de Monte Carlo en faible dimension. Nous illustrons l'intérêt de la procédure par une application à la surveillance de retours logarithmiques du NASDAQ composite. Le code implémentant la procédure est inclus dans le package R npcp.

Copula models are often used to model dependence between random variables in a multivariate, low-dimensional, setting. However, practical problems arise when the dimension becomes very large. A different problem, when working with multivariate time series, is the assumption of stationarity, which is often violated, and adequate methods are required to detect departures from stationary.We begin the thesis by introducing the technical tools related to copula models and change-point detection that are used in the remainder of this work.The first original contribution of the thesis is a fast inference methods for highdimensional one-factor copula models. We propose a model with Gaussian factors and residual dependence modelled using a one-factor copula model. The corresponding estimation procedure allows the statistician to identify the factor model parameters, the Gaussian factors, the factor in the one-factor copula model, and the one-factor copula parameter. Asymptotic properties for a model with up to three Gaussian factors are established, and finite sample properties are illustrated using Monte Carlo simulations. A practical application using SP500 stock market data demonstrates how the proposed model can be used to capture dependence in real-world data.The second original contribution is a nonparametric sequential open-end changepoint detection scheme using the empirical distribution function of possibly multivariate observations. We establish the asymptotic properties of the detector, and perform large-scale Monte Carlo simulations in a univariate and multivariate, lowdimensional, setting. To illustrate the procedure, we conclude with a real-world application by monitoring for changes in the log-returns of the NASDAQ composite index. The code used to implement the monitoring procedure is included in the R package npcp.