Contrôle d'équations des ondes linéaires et non-linéaires

Control of linear and nonlinear wave equations

• Auteur / Autrice : Thomas Perrin
• Direction : Thomas Duyckaerts, Jérôme Le Rousseau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2024
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Matthieu Léautaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Romain Joly, Marion Darbas, Karine Beauchard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Camille Laurent, Sylvain Ervedoza

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles linéaires

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Contrôlabilité

Partial differential equations

Controllability

Résumé

Le sujet de cette thèse est l'étude de différents problèmes de contrôle pour des équations des ondes linéaires et non-linéaires. On s'intéresse tout d'abord à l'observabilité au bord (ou à la contrôlabilité au bord) de systèmes d'équations des ondes linéaires. On construit en détails les solutions pour des données au bord de type Dirichlet homogène et inhomogène, à tout niveau de régularité. On démontre ensuite avec un argument microlocal que l'observabilité au bord (et donc la contrôlabilité au bord) à un niveau de régularité est équivalente à l'observabilité au bord à tout autre niveau de régularité. On se concentre ensuite sur les solutions globales d'équations des ondes non-linéaires focalisantes sous-critiques, avec un terme d'amortissement, sur un domaine borné. On démontre des estimations uniformes en temps, le résultat principal étant qu'une solution globale est bornée dans l'espace d'énergie, pour certaines non-linéarités. On étudie ensuite le cas de l'équation des ondes cubique sur un domaine borné de dimension 3, avec un terme d'amortissement. On démontre que sous l'énergie de l'état fondamental, la dichotomie classique entre existence globale et explosion reste valide. En particulier, les solutions explosives ne sont pas stabilisées. À l'inverse, en supposant la condition de contrôle géométrique vérifiée, on établit la stabilisation des solutions globales sous l'énergie de l'état fondamental. Enfin, on considère une équation des ondes non-linéaire sous-critique, avec des hypothèses assez générales, et on établit la contrôlabilité locale au voisinage d'une trajectoire régulière de l'équation. Dans le cas d'un domaine non-borné, on montre également la contrôlabilité à zéro en temps long des solutions scattering. En corollaire, on obtient la contrôlabilité à zéro en temps long de solutions initialement proches de l'état fondamental pour une équation focalisante, ce qui implique en particulier la contrôlabilité de solutions explosives, et la contrôlabilité exacte en temps long de certaines équations défocalisantes.

The subject of this thesis is the study of various control problems for linear and nonlinear wave equations.First, we focus on boundary observability (or boundary controllability) of systems of linear wave equations. We construct solutions for both homogeneous and inhomogeneous Dirichlet boundary conditions at every regularity level. Using microlocal techniques, we prove that boundary observability (and thus boundary exact controllability) at one regularity level is equivalent to boundary observability at any other level.Next, we establish uniform-in-time estimates for global solutions of subcritical focusing nonlinear wave equations, with the main result being that a global solution is bounded in the energy space for some nonlinearities.Then, we delve into the study of the focusing cubic wave equation on a bounded domain of dimension 3, with a damping term. We demonstrate that under the energy of the ground state, the classic dichotomy between global existence and blow-up remains valid. In particular, explosive solutions are not stabilized. Conversely, assuming that the geometric control condition is satisfied, we establish the stabilization of global solutions under the energy of the ground state. Lastly, we consider a subcritical nonlinear wave equation, with fairly general assumptions, and we establish local controllability around a regular trajectory of the equation. In the case of an unbounded domain, we also demonstrate the null-controllability of scattering solutions in a long time. As a corollary, we obtain the null-controllability of solutions initially close to the ground state in a long time for a focusing equation (which implies, in particular, the controllability of some explosive solutions), and the exact controllability in a long time of some defocusing equations