Contributions algébriques à des polynômes spécifiques sur des corps finis pour la théorie des codes et la cryptographie

Algebraic contributions to some specific polynomials over finite fields for coding theory and cryptography

• Auteur / Autrice : Ruikai Chen
• Direction : Sihem Mesnager
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 18/06/2024
• Etablissement(s) : Paris 8
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Cognition, langage, interaction (Saint-Denis, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Wolfgang Schmid
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Aubry, Delaram Kahrobaei
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stéphane Ballet, Alexander Barg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permutations (mathématiques)

Polynômes

Formes quadratiques

Corps finis

Mots clés libres

Corps finis

Théorie de Galois

Corps de fonctions

Polynôme

Code localement recouvrable

Fonction planaire

Forme quadratique

Polynôme de permutation

Finite field

Alois Theory

Polynomial

Locally recoverable code

Planar function

Quadratic form

Permutation polynomial

Galois Theory,

Résumé

Cette thèse s’appuie sur la théorie de Galois et celle des corps des fonctions algébriques pour explorer certains aspects algébriques de polynômes sur des corps finis, introduits notamment dans le cadre de la théorie des codes et de la cryptographie symétrique. Plus précisément, nous nous concentrons sur trois classes de polynômes, ´a savoir, les “bons” polynômes, les fonctions planaires et les polynômes de permutation. Nous ´étudions leurs propriétés, constructions et caractérisations en utilisant divers outils et techniques issus des corps finis, de la théorie de Galois et du corps de fonctions algébriques, ainsi qu’en dérivant de nouvelles m´méthodes algébriques. Les bons polynômes ont ´été introduits par Tamo et Barg comme principaux ingrédients pour produire des codes (linéaires) localement recouvrables optimaux avec des processus de récupération efficaces dans les systèmes de stockage distribués. Nous caractérisons ces polynômes avec des groupes de Galois minimaux et présentons quelques exemples explicites. Nous ´étudions ´également les fonctions planaires, en développant une m´méthode pour construire- ire et caractériser les fonctions planaires en utilisant des formes quadratiques sur les corps finis, et en introduisant une nouvelle classe de fonctions planes en d´déterminant leurs conditions d’existence et de non-existence. Enfin, nous ´établissons certaines propriétés d’une classe de polynômes de permutation avec leurs inverses, ainsi que certaines classes de fonctions rationnelles de permutation en utilisant différentes techniques telles que les formes quadra- tiques et la factorisation des polynômes en deux variables.

This thesis uses Galois and function field theories to explore some algebraic aspects of polynomials over finite fields, which are introduced notably in the coding theory and symmetric cryptography framework. Specifically, we focus on three classes of polynomials: “good” polynomials, planar functions, and permutation polynomials. We investigate their properties, constructions, and characterizations using various tools and techniques from finite fields, Galois theory, and algebraic function fields, as well as by deriving new algebraic methods. Tamo and Barg introduced the so-called good polynomials as the key ingredi- ents to produce optimal locally recoverable (linear) codes with efficient repair processes in distributed storage systems. We characterize those polynomials with minimal Galois groups and present some explicit examples. We also study planar functions, developing a method to construct and characterize them using quadratic forms over finite fields and introducing a new class of planar functions to determine their existence and non-existence conditions. Finally, we establish some properties of a class of permutation polynomials with their inverses and some classes of permutation rational functions using different techniques, such as quadratic forms and factorization of polynomials in two variables.