Generalized affine models and symmetries of partial differential equations

Μοdèles affines généralisées et symétries d'équatiοns aux dérivés partielles

• Auteur / Autrice : Anas Ouknine
• Direction : Paul Lescot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 19/12/2024
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement co-accrédité : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Calka
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Lescot, Pierre Calka, Michèle Thieullen, József Lörinczi, Christian Léonard, Ioana Ciotir
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michèle Thieullen, József Lörinczi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formule de Feynman-Kac

Mouvement brownien

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

Équations différentielles stochastiques

Lie, Algèbres de

Groupes de Lie

Groupes de symétrie

Mots clés libres

Groupes de symétrie

Groupe à un paramètre de transformation

Groupe de Lie

Algèbre de Lie

Générateur infinitésimal d'un groupe de Lie

Équations différentielles stochastiques (EDS)

Équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR)

Équations différentielles stochastiques rétrograde et progressives (EDSRP)

Mouvement brownien

Formule de Feynman-Kac généralisée

Groupe de symétrie de Lie des EDS

Groupe de symétrie de Lie des EDSR et des EDSRP

Changement de temps aléatoire du mouvement brownien et symétrie.

Symmetry groups

One-Parameter group of transformation

Lie group

Lie algebra

Infinitesimal generator of a Lie group

Stochastic Differential Equations (SDE)

Backward Stochastic Differential Equations (BSDE)

Forward Backward Stochastic Differential Equations (FBSDE)

Brownian Motion

Generalized Feynman-Kac formula

Lie Symmetry group of SDE

Lie Symmetry group of BSDE and FBSDE

Random time change of Brownian motion and symmetry.

Résumé

Cette thèse se consacre à étudier les symétries de Lie d'une classe particulière d'équations différentielles partielles (EDP), désignée sous le nom d'équation de Kolmogorov rétrograde. Cette équation joue un rôle essentiel dans le cadre des modèles financiers, notamment en lien avec le modèle de Longstaff-Schwartz, qui est largement utilisé pour la valorisation des options et des produits dérivés.Dans un contexte plus générale, notre étude s'oriente vers l'analyse des symétries de Lie de l'équation de Kolmogorov rétrograde, en introduisant un terme non linéaire. Cette généralisation est significative, car l'équation ainsi modifiée est liée à une équation différentielle stochastique rétrograde et progressive (EDSRP) via la formule de Feynman-Kac généralisée (non linéaire). Nous nous intéressons également à l'exploration des symétries de cette équation stochastique, ainsi qu'à la manière dont les symétries de l'EDP sont connectées à celles de l'EDSRP.Enfin, nous proposons un recalcul des symétries de l'équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) et de l'EDSRP, en adoptant une nouvelle approche. Cette approche se distingue par le fait que le groupe de symétries qui opère sur le temps dépend lui-même du processus Y, qui constitue la solution de l'EDSR. Cette dépendance ouvre de nouvelles perspectives sur l'interaction entre les symétries temporelles et les solutions des équations.

This thesis is dedicated to studying the Lie symmetries of a particular class of partialdifferential equations (PDEs), known as the backward Kolmogorov equation. This equa-tion plays a crucial role in financial modeling, particularly in relation to the Longstaff-Schwartz model, which is widely used for pricing options and derivatives.In a broader context, our study focuses on analyzing the Lie symmetries of thebackward Kolmogorov equation by introducing a nonlinear term. This generalization issignificant, as the modified equation is linked to a forward backward stochastic differ-ential equation (FBSDE) through the generalized (nonlinear) Feynman-Kac formula.We also examine the symmetries of this stochastic equation and how the symmetriesof the PDE are connected to those of the BSDE.Finally, we propose a recalculation of the symmetries of the BSDE and FBSDE,adopting a new approach. This approach is distinguished by the fact that the symme-try group acting on time itself depends also on the process Y , which is the solutionof the BSDE. This dependence opens up new perspectives on the interaction betweentemporal symmetries and the solutions of the equations.