Analyse de Dynamiques d'échanges Microscopiques et Macroscopiques pour l'écologie et l'épidémiologie.

Analysis of Microscopic and Macroscopic Exchange Dynamics for Ecology and Epidemiology.

• Auteur / Autrice : Samuel Treton
• Direction : Matthieu Alfaro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 19/09/2024
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement co-accrédité : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Alfaro, Philippe Souplet, Grégoire Nadin, Vincent Calvez, Claudio Landim, Sepideh Mirrahimi, Magali Ribot, Jean-Michel Roquejoffre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Souplet, Grégoire Nadin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de réaction-diffusion

Markov, Processus de

Analyse de viabilité des populations

Processus de diffusion

Modèles mathématiques

Épidémiologie

Modèles écologiques

Mots clés libres

Écologie

Épidémiologie

Diffusion

Modèle champ-Route

Persistance et extinction de populations

Transitions microscopique-Macroscopique

Limites d'échelles hydrodynamiques

Processus d'exclusion simple

Équations de réaction-Diffusion

Phénomènes d'explosion de type Fujita

Ecology

Epidemiology

Diffusion

Field-Road model

Persistence and extinction of populations

Microscopic-Macroscopic transitions

Hydrodynamic scaling limits

Simple exclusion processes

Reaction-Diffusion equations

Fujita-Type blow-Up phenomena

Résumé

Cette thèse porte sur la dérivation et l'analyse de modèles de populations structurées en espace, de nature stochastique et déterministe.L'objectif principal de ce travail est d'améliorer notre compréhension des liens complexes entre les dynamiques individu-centrées et le comportement global des populations, ainsi que l'évolution en temps long de ces dernières.En mettant l'accent sur certains modèles présentant des dynamiques d'échanges entre milieux hétérogènes, on explore les relations entre certains systèmes de particules en interaction (processus d'exclusion simple) et les équations de réaction-diffusion.Une attention particulière est également porté à l'analyse du comportement en temps long des solutions de ces dernières, notamment aux critères de persistance ou d'extinction des populations.On commence par introduire dans le Chapitre 1 les principaux fondements théoriques des équations de réaction-diffusion et des processus d'exclusion simple. Cette partie établit les prérequis essentiels pour les chapitres qui suivent.Le Chapitre 2 est consacré à la dérivation microscopique, à partir d'un processus d'exclusion simple, d'un système de réaction-diffusion connu sous le nom de ''champ-route'', utilisé pour modéliser l'impact des lignes de diffusion rapide en écologie et épidémiologie.Dans le Chapitre 3, on rend explicite les solutions du système champ-route diffusif original et on en fournit un contrôle uniforme en temps long. Ce type de contrôle s'avère utile pour quantifier ''l'intensité de dispersion'' du processus diffusif et permet notamment de montrer des résultats de persistance et d'extinction lorsqu'une fonction de croissance avec effet Allee est introduite.Enfin, le Chapitre 4 concerne des résultats de type Fujita sur l'explosion en temps fini, par opposition à la possible existence globale des solutions, d'un système de réaction-diffusion sur-linéaire ''échangeur de chaleur''. Cette étude permet de caractériser la stabilité de l'équilibre nul lorsqu'on ajoute une réaction monostable dégénérée en 0, pénalisant la croissance des faibles densités. Ce point représente la clé de voûte de la caractérisation des phénomènes de persistance et d'extinction mentionnés plus haut.

This thesis deals with the derivation and the analysis of spatially structured population models, including both stochastic and deterministic approaches.The main goal of this work is to deepen our understanding of the intricate connections between individual-based dynamics and the collective behavior of populations, as well as the long-term behavior of the latter.By focusing on models that illustrate exchanges between heterogeneous environments, we particularly investigate the relationships between certain interacting particle systems (simple exclusion processes) and reaction-diffusion equations.Special attention is also given to the long-term behavior of the solutions of these equations, especially the criteria for population persistence or extinction.Chapter 1 lays the theoretical background for reaction-diffusion equations and simple exclusion processes. This section provides the necessary foundation for the following chapters.Chapter 2 explores the microscopic derivation, via a simple exclusion process, of a reaction-diffusion system known as the ''field-road model'', which is used to model the impact of fast diffusion channels in ecology and epidemiology.In Chapter 3, we explicitly derive the solutions of the original field-road diffusion model and provide a uniform long-term control. Such control is useful to quantify the ''dispersion intensity'' of the diffusive process, enabling to demonstrate results related to persistence and extinction when a growth function with an Allee effect is introduced.Finally, Chapter 4 examines Fujita-type results concerning blow-up versus possible global existence of solutions to a superlinear reaction-diffusion ''heat exchanger'' system. This study characterizes the stability of the zero equilibrium when a monostable reaction degenerate at 0 (penalizing low-density growth) is included. This aspect is crucial for understanding the persistence and extinction phenomena mentioned above.