Modélisation et simulation numérique du problème inverse en tomographie électromagnétique

Modeling and numerical simulation of the inverse problem in electromagnetic tomography

• Auteur / Autrice : Théau Cousin
• Direction : Christian Gout, Cyrille Fauchard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/03/2024
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de l'INSA Rouen Normandie (Saint Etienne du Rouvray, Seine-Maritime ; 1987-....)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement co-accrédité : Institut national des sciences appliquées Rouen Normandie (Saint-Etienne-du-Rouvray ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Marion Darbas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Gout, Cyrille Fauchard, Sonia Fliss, Mohammed Serhir, Hervé Dumont, Antoine Tonnoir
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marion Darbas, Donatienne Leparoux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permittivité

Problèmes inverses

Décomposition de domaines (mathématiques)

Éléments finis, Méthode des

Ondes électromagnétiques -- Diffraction

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Nédelec

Perfectly Matched Layers

Méthode de l'état adjoint

Régularisation de Tikhonov

Antennes ETSA (Exponentially Tapered Slot Antennas)

Paramètres S

CRIM (Complex Refractive Index Model)

Maxwell's equations

Electromagnetic scattering

Nedelec Finite Elements

Perfectly Matched Layers

Domain Decomposition

Inversion

Adjoint state method

Tikhonov regularisation

ETSA (Exponentially Tapered Slot Antennas)

S-Parameters

Permittivity reconstruction

CRIM (Complex Refractive Index Model)

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans un projet de recherche qui a pour ambition de développer, dans une démarche écologique, une méthodologie permettant de retrouver la densité des matériaux du génie civil. L'objectif est de remplacer une méthode invasive et nucléaire par une approche non destructive et électromagnétique. Les travaux de cette thèse sont issues d'une collaboration Cifre entre le Cerema, Routes de France et le Laboratoire de Mathématiques de l'INSA de Rouen Normandie (LMI). Des premiers travaux ont permis d'établir un lien entre la densité et la permittivité diélectrique d'un matériau, ce qui a conduit l'équipe ENDSUM du Cerema Normandie à réaliser un banc permettant d'émettre et de recevoir des ondes électromagnétiques. Il est équipé de moteurs pas à pas pour les antennes et un moteur pour le support, permettant d'accéder à des mesures de type tomographie. L'objectif de cette thèse est de mettre en place un solveur permettant de réaliser une inversion sur les données générées par ce banc afin de retrouver la permittivité et in fine la compacité. Cela implique la modélisation et la simulation numérique de ce système, basée sur la diffraction des ondes électromagnétiques régie par les équations de Maxwell que nous avons étudiés en ordre 2. La réalisation de ce solveur 3D a nécessité l'implémentation d'une méthode type Élément Finis, basée sur les Éléments Finis de Nédelec. La prise en compte du caractère non borné du domaine a été réalisée grâce à l'implémentation de Perfectly Matched Layers. Afin d'optimiser l'implémentation, nous avons également mis en place une vectorisation de l'assemblage des matrices de discrétisation et implémenté une méthode de décomposition de domaine. Finalement, la résolution du problème de minimisation s'est faite par une approche de type Gauss-Newton utilisant la méthode d'état adjoints pour le calcul de la matrice Hessienne. Cette résolution est combinée avec une régularisation de Tikhonov dite semi-quadratique permettant d'accentuer le contraste dans la permittivité recherchée. La modélisation du banc a également nécessité des travaux sur le calibrage des antennes utilisées. Nous avons réadapté les travaux dans le but de considérer les antennes comme une source ponctuelle associée à une onde sphérique et mis en place un procédé expérimental permettant de corriger les signaux reçus.

This thesis is part of a research project aiming to develop, in an ecological approach, a methodology for retrieving the density of civil engineering materials. The objective is to replace an invasive and nuclear method with a non-destructive and electromagnetic approach. The work of this thesis stems from a CIFRE collaboration between Cerema, Routes de France, and the Laboratory of Mathematics at INSA Rouen Normandie (LMI).The initial work has established a relationship between the density and the dielectric permittivity of a material, leading the ENDSUM team at Cerema Normandie to develop a bench capable of emitting and receiving electromagnetic waves. It is equipped with stepper motors for the antennas and a motor for the support, enabling tomography-type measurements. The objective of this thesis is to implement a solver capable of performing inversion on the data generated by this bench to retrieve the permittivity and ultimately the compactness. This involves the numerical modeling and simulation of this system, based on the diffraction of electromagnetic waves governed by the Maxwell equations we studied in second order. The development of this 3D solver required the implementation of a Finite Element type method, based on Nedelec Finite Elements. The consideration of the unbounded nature of the domain was achieved through the implementation of Perfectly Matched Layers. To optimize the implementation, we also introduced vectorization of the discretization matrix assembly and implemented a domain decomposition method. Finally, the resolution of the minimization problem was carried out using a Gauss-Newton approach utilizing the adjoint state method for computing the Hessian matrix. This resolution is combined with a semi-quadratic Tikhonov regularization method to enhance the contrast in the desired permittivity.The modeling of the bench also required work on the calibration of the antennas used. We have readapted previous work to consider the antennas as a point source associated with a spherical wave and implemented an experimental process to correct the received signals.