Constructions universelles découlant de la quantification des bigèbres de Lie
Auteur / Autrice : | Andrea Rivezzi |
Direction : | Martin Bordemann, Thomas Weigel |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 09/05/2024 |
Etablissement(s) : | Mulhouse en cotutelle avec Università degli studi di Milano - Bicocca, Università degli studi (Pavie, Italie), Istituto nazionale di alta matematica Francesco Severi (Italie (Rome)) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique, Mathématiques, Automatique et Signal (Mulhouse) - Institut de Recherche en Informatique Mathématiques Automatique Signal - IRIMAS - UR 7499 / IRIMAS |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude de la théorie de la quantification des bialgèbres de Lie et des constructions universelles associées. Nous proposons un nouveau traitement de l’associateur de Drinfeld issu de la connexion de Knizhnik–Zamolodchikov, montrant ses principales identités et propriétés à travers l'évaluation concrète des transports parallèles par rapport aux connexions plates le long de chemins bien choisis. Nous avons utilisé des mathématiques de niveau licence dans tous les raisonnements, simplifiant ainsi les traitements précédents existants dans la littérature. Nous fournissons une version plus détaillée de la quantification des bigèbres de Lie de P. Ševera, donnant des preuves explicites et diagrammatiques de toutes les affirmations catégorielles. Nous montrons ensuite qu'une telle construction est compatible avec les modules et les twists de Drinfeld–Yetter. Nous proposons une nouvelle preuve du lemme de Hensel d’Enriquez–Etingof, qui joue un rôle clé dans la preuve de l'inversibilité du foncteur de quantification d’Etingof–Kazhdan. Notre preuve implique des techniques d'algèbre linéaire élémentaire et de théorie des anneaux. Enfin, nous présentons une description combinatoire de l'algèbre universelle de Drinfeld–Yetter U1DY, qui est impliquée dans la théorie des foncteurs de quantification universels. Nous définissons l'ensemble des mosaïques de Drinfeld–Yetter et l'ensemble des métiers à tisser de Drinfeld–Yetter, et nous les utilisons pour donner une description combinatoire de U1DY.