Constructions universelles découlant de la quantification des bigèbres de Lie

Universal constructions arising from quantization of Lie bialgebras

• Auteur / Autrice : Andrea Rivezzi
• Direction : Martin Bordemann, Thomas Weigel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/05/2024
• Etablissement(s) : Mulhouse en cotutelle avec Università degli studi di Milano - Bicocca, Università degli studi (Pavie, Italie), Istituto nazionale di alta matematica Francesco Severi (Italie (Rome))
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique, Mathématiques, Automatique et Signal (Mulhouse) - Institut de Recherche en Informatique Mathématiques Automatique Signal - IRIMAS - UR 7499 / IRIMAS

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hopf, Algèbres de

Calcul des prédicats

Lie, Bialgèbres de

Mots clés libres

Bialgèbres de Lie

Quantification

Catégories monoïdales

Algèbres de Hopf

Associateurs

Lie bialgebras

Quantization

Monoidal categories

Hopf algebras

Associators

Résumé

Cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude de la théorie de la quantification des bialgèbres de Lie et des constructions universelles associées. Nous proposons un nouveau traitement de l’associateur de Drinfeld issu de la connexion de Knizhnik–Zamolodchikov, montrant ses principales identités et propriétés à travers l'évaluation concrète des transports parallèles par rapport aux connexions plates le long de chemins bien choisis. Nous avons utilisé des mathématiques de niveau licence dans tous les raisonnements, simplifiant ainsi les traitements précédents existants dans la littérature. Nous fournissons une version plus détaillée de la quantification des bigèbres de Lie de P. Ševera, donnant des preuves explicites et diagrammatiques de toutes les affirmations catégorielles. Nous montrons ensuite qu'une telle construction est compatible avec les modules et les twists de Drinfeld–Yetter. Nous proposons une nouvelle preuve du lemme de Hensel d’Enriquez–Etingof, qui joue un rôle clé dans la preuve de l'inversibilité du foncteur de quantification d’Etingof–Kazhdan. Notre preuve implique des techniques d'algèbre linéaire élémentaire et de théorie des anneaux. Enfin, nous présentons une description combinatoire de l'algèbre universelle de Drinfeld–Yetter U1DY, qui est impliquée dans la théorie des foncteurs de quantification universels. Nous définissons l'ensemble des mosaïques de Drinfeld–Yetter et l'ensemble des métiers à tisser de Drinfeld–Yetter, et nous les utilisons pour donner une description combinatoire de U1DY.

This Ph.D. thesis is devoted to the study of the theory of quantization of Lie bialgebras and related universal constructions. We give a new treatment of the Drinfeld associator arising from the Knizhnik–Zamolodchikov connection, showing its main identities and properties through concrete evaluation of parallel transports with respectto flat connections along well–chosen paths. We used undergraduate Mathematics in all the reasonings, simplifying the previous treatments existing in literature. We provide a more detailed version of P. Sˇevera’s quantization of Lie bialgebras, giving explicit and diagrammatic proofs of all the categorical statements. We then show that such a construction is compatible with Drinfeld–Yetter modules and twists. We give a new proof of the Enriquez–Etingof Hensel’s lemma, which is a statement playing a key role in the proof of the invertibility of the Etingof–Kazhdan quantization functor. Our proof involves techniques of basic linear algebra and ring theory. Finally, we present a combinatorial description of the Appel–Toledano Laredo universal Drinfeld– Yetteralgebra U1DY, which is involved in the theory of universal quantization functors. We define the set of Drinfeld–Yetter mosaics and the set of Drinfeld–Yetter looms, and we use them to give a combinatorial description of U1DY.