Étude des opérateurs de Rota-Baxter relatifs sur les algèbres ternaires de type Lie et Jordan

Study of relative Rota-Baxter operators on ternary algebras of Lie and Jordan type

• Auteur / Autrice : Atef Hajjaji
• Direction : Abdenacer Makhlouf, Boujemaâ Agrebaoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/12/2024
• Etablissement(s) : Mulhouse en cotutelle avec Université de Sfax (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique, Mathématiques, Automatique et Signal (Mulhouse) - Institut de Recherche en Informatique Mathématiques Automatique Signal / IRIMAS

Mots clés

Mots clés contrôlés

Yang-Baxter, Équation de

Algèbres de Jordan

Cohomologie

Mots clés libres

Système de triple de Lie

Opérateur Rota-Baxter

Équation de Yang-Baxter

Élément Maurer-Cartan

L∞-algèbre

Cohomologie

Déformation

Algèbre ternaire de Jordan

Lie triple system

Rota-Baxter operator

Yang-Baxter equation

Maurer-Cartan element

L∞-algebra

Cohomology

Deformation

Ternary Jordan algebra

Résumé

L'objectif de cette thèse est d'étudier les opérateurs de Rota-Baxter relatifs sur les algèbres ternaires de type Lie et de type Jordan. L'étude porte sur leur structure, leur cohomologie, leurs déformations et leur lien avec les équations de Yang-Baxter. Ce travail est divisé en trois parties. La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de contrôle des systèmes triples de Lie, et à son application à la théorie existante de la cohomologie. De plus, nous introduisons la notion d'opérateur de Rota-Baxter relatif sur les systèmes triples de Lie et construisons une 3-algèbre de Lie comme cas spécial des L∞-algèbres dont les éléments de Maurer-Cartan sont des opérateurs de Rota-Baxter relatifs. Dans la deuxième partie, nous introduisons la notion d'opérateur de Rota-Baxter relatif twisté sur les algèbres 3-Lie et construisons une L∞-algèbre dont les éléments de Maurer-Cartan sont des opérateurs de Rota-Baxter relatifs twistés. Cela nous permet de définir la cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'un opérateur de Rota-Baxter relatif twisté. Dans la dernière partie, nous étudions la représentation des algèbres ternaires de Jordan, ce qui nous permet d'introduire la notion d'algèbres ternaires de Jordan cohérentes. Ensuite, les opérateurs de Rota-Baxter relatifs des algèbres ternaires de Jordan sont introduits et les solutions de l'équation de Yang-Baxter de Jordan ternaire sont discutées en impliquant des opérateurs de Rota-Baxter relatifs.

The goal of this thesis is to explore relative Rota-Baxter operators in the context of ternary algebras of both Lie and Jordan types. We mainly consider Lie triple systems, 3-Lie algebras and ternary Jordan algebras. The study covers their structure, cohomology, deformations, and their connection with the Yang-Baxter equations. The work is divided into three main parts. The first part aims first to introduce and study a graded Lie algebra whose Maurer-Cartan elements are Lie triple systems. It turns out to be the controlling algebra of Lie triple systems deformations and fits with the adjoint cohomology theory of Lie triple systems introduced by Yamaguti. In addition, we introduce the notion of relative Rota-Baxter operators on Lie triple systems and construct a Lie 3-algebra as a special case of L∞-algebras, where the Maurer-Cartan elements correspond to relative Rota-Baxter operators. In the second part, we introduce the concept of twisted relative Rota-Baxter operators on 3-Lie algebras and construct an L∞-algebra, where the Maurer-Cartan elements are twisted relative Rota-Baxter operators. This allows us to define the Chevalley-Eilenberg cohomology of a twisted relative Rota-Baxter operator. In the last part, we deal with a representation theory of ternary Jordan algebras. In particular, we introduce and discuss the concept of coherent ternary Jordan algebras. We then define relative Rota-Baxter operators for ternary Jordan algebras and discuss solutions ofthe ternary Jordan Yang-Baxter equation involving relative Rota-Baxter operators. Moreover, we investigate ternary pre-Jordan algebras as the underlying algebraic structure of relative Rota-Baxter operators.