Étude d’un modèle de percolation avec contrainte, et de modèles à croissance aléatoire linéaire

Study of a constrained percolation model, and of linear random growth models

• Auteur / Autrice : Pierrick Siest
• Direction : Régine Marchand, Irène Marcovici
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Marie Théret
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Régine Marchand, Irène Marcovici, Jean-Baptiste Gouéré, Lucas Gerin, Valentin Feray, Daniel Valesin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Baptiste Gouéré, Lucas Gerin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Épidémies

Méthode de projection aléatoire

Méthode asymptotique numérique

Percolation (physique statistique)

Mots clés libres

Processus de contact

Théorème de forme asymptotique

Percolation contrainte

Mélange

Modèles à croissance aléatoire linéaire

Contact process

Asymptotic shape theorem

Constrained percolation

Stirring

Linear random growth models

Résumé

La percolation avec contrainte consiste en l'étude de modèles de percolation pour lesquels on conditionne le sous-graphe aléatoire obtenu après suppression des arêtes à vérifier une contrainte particulière. La première partie de cette thèse traite d'un modèle spécifique de percolation avec contrainte : le modèle de corner percolation. Nous montrons que dans un régime à directions privilégiées, il existe presque sûrement une infinité de chemins infinis d'arêtes, et nous déterminons la direction asymptotique commune de ces chemins, en utilisant deux approches différentes. La seconde partie de cette thèse aborde des systèmes de particules en interaction. Nous nous intéressons à des variantes de deux modèles classiques dans ce domaine : le modèle de Richardson et le processus de contact. Ces derniers peuvent être vus comme des versions simplifiées de modèles représentant l'évolution au cours du temps d'une épidémie, et possèdent une dynamique d'infection et de guérison. On s'intéresse à l'incorporation dans ces modèles d'une dynamique de mélange, qui correspond au déplacement des individus. Nous montrons plusieurs résultats sur le modèle de Richardson avec mélange et le processus de contact avec mélange, notamment un théorème de forme asymptotique pour l'ensemble des individus infecté. Pour prouver ce théorème, nous utilisons un théorème de forme asymptotique général que nous avons montré pour une classe de systèmes de particules en interaction, que l'on appelle modèles à croissance aléatoire linéaire : ce théorème fait l'objet de la dernière partie de cette thèse.

Constrained percolation is the study of percolation models in which the random subgraph obtained after edge removal is conditioned to verify a particular constraint. The first part of this thesis deals with a specific constrained percolation model: the corner percolation model. We show that in a regime with preferred directions, there are almost surely infinitely many infinite edge paths, and we determine the common asymptotic direction of these paths, using two different approaches. The second part of this thesis deals with interacting particle systems. We focus on variants of two classical models in this field: the Richardson model and the contact process. The latter can be seen as simplified versions of models representing the evolution over time of an epidemic, with infection and recovery dynamics. We focus on the incorporation into these models of a mixing dynamics, corresponding to the movement of individuals. We show several results on the Richardson model with mixing and the contact process with mixing, including an asymptotic shape theorem for the set of infected individuals. To prove this theorem, we use a general asymptotic shape theorem that we have shown for a class of interacting particle systems, which we call linear random growth models: this theorem is the subject of the last part of this thesis.