Le problème du logarithme discret dans les corps finis avec extensions

The Discrete Logarithm Problem in Finite Fields with Extensions

• Auteur / Autrice : Haetham Al Aswad
• Direction : Emmanuel Thomé, Cécile Pierrot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 04/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Steve Kremer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Thomé, Cécile Pierrot, Gary McGuire, Benjamin Wesolowski, Alice Pellet--Mary
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gary McGuire, Benjamin Wesolowski

Mots clés

Mots clés contrôlés

NFS (protocole de réseaux d'ordinateurs)

Algorithmes

Cryptographie

Théorie des nombres

Corps finis

Logarithmes discrets

Mots clés libres

Logarithme discret

Corps finis

Théorie des nombres

Cryptanalyse

Cryptographie

Algorithmique

Cryptography

Algorithmic number theory

Discrete logarithm

Cryptanalysis

Finite fields

Algorithmic

Résumé

Cette thèse étudie le problème du logarithme discret dans les corps finis, l'un des deux problèmes de théorie des nombres aux fondations de la cryptographie à clef publique utilisée de nos jours. En particulier, nous proposons plusieurs algorithmes pour la résolution de ce problème dans le cas des corps finis non premiers, c'est-à-dire de la forme F_{p}^n avec p la caractéristique et n le degré d'extension tel que n > 1. Ces algorithmes mobilisent un large ensemble de techniques et d'outils provenant de la théorie des nombres algorithmiques, et s'inscrivent dans une recherche de pointe de longue date : le crible par corps de nombre (NFS), squelette sur lequel se basent tous ces algorithmes ayant déjà plus d'une trentaine d'années. Les contributions de cette thèse se déclinent en trois volets. Le premier volet examine l'étape finale de NFS - et de ses variantes - lorsqu'il est appliqué à des corps finis avec n composé. En exploitant des sous-corps d'un corps de nombres, NFS construit un réseau dans lequel tous les éléments partagent une propriété commune. Une réduction de réseaux par LLL ou BKZ permet de retrouver un élément de petite norme L2 qui entraîne une petite norme algébrique. La contributation apportée à cette étape consiste à considérer certains sous-réseaux bien choisis qui permettent de chercher des éléments d'un degré inférieur au coût d'une norme L2 légèrement plus grande. Ce compromis fournit des éléments avec des normes algébriques plus petites pour diverses familles de corps de nombres. De plus, nous démontrons de nouvelles complexité asymptotique pour cette étape de NFS apportées par l'utilisation de certains algorithmes de réduction de réseaux (BKZ au lieu de LLL). Ce travail est publié en collaboration avec Cécile Pierrot dans le journal Designs, Codes and Cryptography. Le second volet modifie la structure de l'algorithme NFS tout entier. Nous élargissons le concept de Factoring Factory, initialement introduit pour la factorisation et les corps premiers uniquement. Nous y explorons la stratégie pour attaquer simultanément plusieurs corps finis de taille comparable mais de même n. Une phase de prétraitement dépendant uniquement de la taille et de n permet un calcul efficace des logarithmes discrets dans une certaine proportion de corps finis. Dans le cadre de plusieurs corps cibles, cette méthode offre de nouvelles complexités asymptotiques record pour NFS et la plupart de ses variantes. Cet article est publié en collaboration avec Cécile PIERROT et Emmanuel Thomé dans le journal IACR Communications in Cryptology. Enfin, le troisième volet se concentre sur une variante prometteuse de NFS, la variante dite Tower. Nous proposons d'accélerer l'algorithme TNFS avec des automorphismes Galoisiens. Les deux étapes les plus coûteuses de TNFS sont la collecte des relations et l'algèbre linéaire. Il est connu qu'un tel automorphisme d'ordre k---lié au corps fini cible---permet une accélération d'ordre k de la collecte de relations. Faisant suite à un premier résultat extérieur de 2021, qui permettait d'accélérer l'étape d'algèbre linéaire également, lorsque k = 2, nous étudions ici le résultat pour des ordres supérieurs, à savoir 6 et 12. Nous obtenons une nouvelle construction et atteint des facteurs d'accélérations pour cette lourde étape de l'ordre de 36 (pour k = 6) et 144 (pour k = 12). Ce travail donne lieu à un article en cours rédaction.

This thesis studies the discrete logarithm problem in finite fields, one of the two number-theoretic problems at the foundation of public-key cryptography used today. In particular, we propose several algorithms for solving this problem in the case of non-prime finite fields, i.e. of the form F_{p}^n with p the characteristic and n the degree of extension such that n > 1. These algorithms mobilize a wide range of techniques and tools drawn from algorithmic number theory, and are part of a long-standing cutting-edge research project research: the number field sieve (NFS), the backbone on which all these algorithms are based. The contributions of this thesis are divided into three parts. The first examines the final stage of NFS - and its variants - when applied to finite fields with compoosite n. By exploiting sufields of a number field, NFS builts a lattice in which all elements share a common property. A lattice reduction by LLL or BKZ leads to an element of small norm L2 which leads to a small algebraic norm. The contribution made at this stage is to consider certain well-chosen sub-lattices that allow us to search for elements of smaller degree at the cost of a slightly larger L2 norm. This compromise provides elements with smaller algebraic norms for various families of number fields. In addition, we demonstrate new asymptotic complexities for this NFS step brought by the use of certain lattice reduction algorithms (BKZ instead of LLL). This work is published in collaboration with Cécile Pierrot in the journal Designs, Codes and Cryptography. The second part modifies the structure of the entire NFS algorithm. We extend the Factoring Factory concept, originally introduced for factoring and prime fields only. We explore the strategy for simultaneously attacking several finite fields of comparable size but of the same extension degree n. A pre-processing phase dependent only on approximate size and n enables efficient computation of discrete logarithms in a certain proportion of finite fields. In the context of multiple target finite fields, this method offers new record asymptotic complexities for NFS and most of its variants. This article is published in collaboration with Cécile PIERROT and Emmanuel Thomé in the journal IACR Communications in Cryptology. Finally, the third section focuses on a promising NFS variant, the so-called Tower variant. We propose to accelerate the TNFS algorithm with Galois automorphisms. The two most costly steps in TNFS are the relation collection and the linear algebra steps. It is known that such an automorphism of order k---linked to the target finite field---allows k-order acceleration of the relation collection. Following on from a first external result in 2021, which accelerated the linear algebra step too but only when k = 2, we study the result for higher orders, namely 6 and 12. We obtain a new construction and achieve acceleration factors for this heavy step of the order of 36 (for k = 6) and 144 (for k = 12). This is the subject of an article currently being written.