Analyse de séries temporelles multivariées avec la méthode de la signature

Multivariate time series analysis with the signature method

• Auteur / Autrice : Raphaël Mignot
• Direction : Marianne Clausel, Konstantin Usevich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/10/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Xavier Pennec
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marianne Clausel, Nicolas Le Bihan, Badih Ghattas, Agathe Guilloux, Emilie Devijver, Max Pfeffer, El-Hadi Djermoune
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Le Bihan, Badih Ghattas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse des données

Apprentissage automatique

Analyse en composantes principales

Traces numériques

Séries chronologiques

Mots clés libres

Séries temporelles

Signatures

Apprentissage sur variétés

Apprentissage non supervisé

Time series

Iterated Integrals Signatures

Learning on manifolds

Unsupervised learning

Résumé

L'analyse de données séquentielles, ou séries temporelles, est essentielle dans de nombreux domaines d'application, tels que l'ingénierie, la sociologie, la santé ou l'économétrie. Souvent, les modèles linéaires ne suffisent pas à rendre compte de la nature complexe des données. Cela a créé un besoin de méthodes interprétables et non linéaires pour l'analyse des séries temporelles. Dans cette thèse, nous analysons les séries temporelles multidimensionnelles sous l'angle de leurs intégrales de différents ordres de moments, constituant leurs signatures, une nouvelle méthode d'analyse des séries temporelles. Sous des hypothèses non contraignantes, les signatures caractérisent les séries temporelles de manière unique, à reparamétrisation temporelle et translation près, en un ensemble de caractéristiques. En raison de leur capacité à encoder des dépendances non linéaires dans les données, les signatures ont dépassé les performances des meilleures méthodes sur un large éventail d'applications d'apprentissage automatique, telles que la régression de lois de probabilités, la détection d'anomalies, la reconnaissance d'actions humaines. Les signatures sont des points sur un espace non linéaire, ce qui rend leur manipulation difficile d'un point de vue pratique. Tout d'abord, nous introduisons une méthode de calcul de moyennes de signatures qui tient compte de la géométrie de l'espace, par le biais d'un algorithme itératif fini. En outre, nous présentons une stratégie permettant de réduire efficacement la dimension des signatures en adaptant l'Analyse en Composantes Principales (ACP). Nos approches reposent sur la manipulation algébrique des signatures ainsi que sur des approximations locales. Nous montrons que cette méthode de réduction de dimension permet de stabiliser les performances tout en utilisant beaucoup moins de caractéristiques de signature. Ensuite, nous démontrons comment les signatures peuvent être très efficaces en tant qu'outil multi-échelle pour la détection d'anomalies, avec des temps d'exécution compétitifs. Enfin, dans le dernier chapitre, nous traitons du partitionnement de séries temporelles soumises à des perturbations et nous introduisons des mesures de similarités dans l'espace des signatures que nous combinons aux méthodes classiques de partitionnement.

The analysis of sequential data, or time series, is key in numerous field of applications, e.g., engineering, sociology, medicine or econometrics. Often, linear models are not sufficient to account for the complex nature of data. This has created a need for interpretable and nonlinear methods for time series analysis. In this thesis, we analyze multidimensional time series through the lens of their integrals of various moment orders, constituting their signatures, a novel method for time series analysis. Under mild conditions, signatures characterize time series uniquely, up to time reparametrization and translation, into a set of features. Due to their ability to encode nonlinear dependencies in data, signature features have improve the current state-of-the-art in a broad range of Machine Learning applications, such as distribution regression, anomaly/novelty detection, human action recognition. Signature features lie in a nonlinear space, making their manipulation challenging from a practical perspective. First, we introduce a method to average signature features which takes into account the geometry of the space, through a finite iterative algorithm. In addition, we present a strategy to effectively reduce the dimension of signature features by adapting the Principal Component Analysis (PCA). Our approaches rely on the algebraic manipulation of signatures and local approximations. We show that this dimension reduction method allows for stability of performances while using much fewer signature features. Then, we demonstrate how signatures can be highly effective as a multiscale tool for anomaly detection, with competitive runtimes. Finally, in the last chapter, we deal with clustering of time series under perturbations and introduce similarity measures in the space of signatures that we couple with usual distance-based clustering methods.