Espaces de modules de faisceaux stables sur une surface hyperkählérienne compacte

Moduli spaces of stable sheaves over a compact hyperkähler surface

• Auteur / Autrice : Yann Millot
• Direction : Matei Toma
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Gianluca Pacienza
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matei Toma, Arvid Perego, Christian Lehn, Zhixin Xie, Chiara Camere
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arvid Perego, Christian Lehn
• DOI : 10.70675/e36bd565z6ef4z4268zabbez1d4f917093f6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces (mathématiques)

Surfaces K3

Géométrie algébrique

Variétés complexes

Structures kählériennes

Mots clés libres

Géométrie complexe

Espaces de modules

Variété hyperkählérienne

Moduli spaces

Complex Geometry

Hyperkähler manifolds

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de certains espaces de modules de faisceaux stables sur des surfaces K3 non algébriques. Après des résultats préliminaires, la première partie de cette thèse consiste à étendre des résultats connus dans le cas des surfaces K3 algébriques à certains cas particuliers. Les résultats de cette première partie consistent en l'existence de faisceaux stables spécifiques sur les surfaces K3 non algébriques, puis à l'extension du morphisme de Gieseker-Uhlenbeck à ce cadre. Dans la deuxième partie, sont considérés les espaces de twisteurs des surfaces K3, et les espaces de modules relatifs de faisceaux stables le long de ces espaces de twisteurs. La question naturelle de l'extension des résultats de la première partie au cas relatif se voit apporter une réponse positive, puis nous étudions cet espace de module relatif et notamment son obstruction à la structure d'espace de twisteurs.

The aim of this thesis is to study certain moduli spaces of stable bundles on non-algebraic K3 surfaces. After preliminary results, the first part of this thesis consists in extending results known in the case of algebraic K3 surfaces to certain special cases. The results of this first part consist in the existence of specific stable bundles on non-algebraic K3 surfaces, followed by the extension of the Gieseker-Uhlenbeck morphism to this case. The second part considers the twistor spaces of K3 surfaces, and the relative moduli spaces of stable bundles along these twistor spaces. The natural question of how to extend the results of the first part to the relative case is answered in the affirmative, then we study this relative moduli space and, in particular, its obstruction to the twistor space structure.