Autour de l'équation du plus bas niveau de Landau

On the lowest Landau level equation

• Auteur / Autrice : Valentin Schwinte
• Direction : Laurent Thomann, Pierre Germain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Valeria Banica
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Thomann, Pierre Germain, Patrick Gérard, Nicolas Rougerie, Sylvia Serfaty, Anne-sophie De Suzzoni, Jérémy Faupin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Patrick Gérard, Nicolas Rougerie

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Théorie de Ginzburg-Landau

Systèmes hamiltoniens

Schrödinger, Équation de

Équations différentielles non linéaires -- Solutions numériques

Mots clés libres

Équation du plus bas niveau de Landau

Équation de Schrödinger non-linéaire

Ondes progressives

Problème de minimisation

Conditions périodiques

Stabilité des solutions

Landau lowest level equation

Nonlinear Schrödinger equation

Progressive waves

Minimisation problem

Periodical conditions

Stability of the solutions

Résumé

Cette thèse a pour objet l'étude de l'équation du plus bas niveau de Landau, dans plusieurs contextes pertinents en physique et provient des modèles pour les condensats de Bose-Einstein. Nous nous penchons spécifiquement sur trois aspects liés à l'équation. Le premier est l'étude d'une classe de solutions appelées ondes stationnaires, à travers la minimisation d'une fonctionnelle énergie. Nous montrons notamment que la gaussienne est l'unique minimiseur global à symétries près pour un certain paramètre, à l'aide d'algèbre linéaire et bilinéaire. Le deuxième point concerne la conjecture de réseau d'Abrikosov. Nous investiguons l'équation avec ajout de conditions périodiques, et la linéarisons autour des réseaux. Nous aboutirons à la stabilité du réseau hexagonal. Le troisième et dernier aspect porte sur les ondes progressives pour l'équation couplée du plus bas niveau de Landau. Nous classifions de telles solutions ayant un nombre fini de zéros, et en déduisons l'existence de solutions dont les normes de Sobolev croissent.

The aim of this thesis is to study the Lowest Landau Level equation, in several contexts relevant to physics and originating from models for Bose-Einstein condensates. In particular, we investigate three aspects of the equation. The first is the study of a class of solutions called stationary waves, through the minimization of an energy functional. In particular, we show that the Gaussian is the only global minimizer up to symmetries for a certain parameter, using linear and bilinear algebra tools. The second point concerns the Abrikosov lattice conjecture. We investigate the equation with the addition of periodic conditions, and linearize it around lattices. This results in the stability of the hexagonal lattice. The third and final aspect concerns progressive waves for the coupled Lowest Landau Level equation. We classify such solutions with a finite number of zeros, and deduce the existence of solutions with growing Sobolev norms.