Modèles de filaments pour la natation à l'échelle microscopique

Filament models for swimming at the microscopic scale

• Auteur / Autrice : Jessie Levillain
• Direction : François Alouges, Aline Lefebvre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/09/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique (Palaiseau ; 1974-....) - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Sébastien Martin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Alouges, Aline Lefebvre, Céline Grandmont, Astrid Decoene, Laetitia Giraldi, Josselin Garnier
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Céline Grandmont, Astrid Decoene

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Simulation par ordinateur

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Micro-Nageurs

Equations aux dérivées partielles

Simulation numérique

Théorie du Contrôle

Control theory

Numerical simulation

Partial differential equations

Micro-Swimmers

Résumé

Les mathématiques associées à la natation à l'échelle microscopique constituent un domaine de recherche actif depuis une quinzaine d'années, avec de nombreuses applications en biologie et en physique. En effet, les micro-organismes se déplaçant dans l'eau jouent un rôle crucial dans l'origine et le maintien de la vie, et les principes physiques régissant leurs mouvements diffèrent grandement de ceux qui gouvernent la natation humaine. Les recherches dans ce domaine peuvent aussi être appliquées à la conception de micro sous-marins, ouvrant la voie à des applications innovantes en médecine, comme la chirurgie non-invasive.Cette thèse porte sur l'étude de tels micro-organismes, dans un contexte où les forces inertielles sont négligeables par rapport aux forces visqueuses dans le fluide environnant, phénomène caractérisé par un faible nombre de Reynolds.Les deux premières parties traitent de modèles mathématiques de nageurs, composés de bras actifs, sphères, et ressorts passifs. Ces modèles permettent de contourner le théorème de la coquille Saint-Jacques de Purcell, qui garantit qu'un nageur dont la brassée est un mouvement réciproque ne pourra jamais se déplacer, car il revient toujours à sa position initiale en l'absence d'inertie.Le premier modèle conçu au cours de cette thèse est un nageur à quatre sphères avec deux bras élastiques passifs. Faire varier la fréquence d'oscillation du bras actif permet de changer le signe du déplacement du nageur, rendant le système contrôlable, tout en n'ayant qu'un seul degré de liberté actif. Le modèle étudié dans le deuxième chapitre comporte, quant à lui, un grand nombre de ressorts. Un modèle limite de ce nageur où le nombre de ressorts tend vers l'infini a ensuite été considéré, transformant le nageur en une queue élastique se compressant et s'étendant unidimensionnellement.Au cours du troisième chapitre, on présente une preuve de la convergence et du caractère bien posé d'un modèle discret de micro-filament élastique à bas nombre de Reynolds. Ce modèle en trois dimensions est composé de N filaments rigides, dont le mouvement est en deux dimensions.Enfin, dans le dernier chapitre, des modèles des mécanismes d'activation le long d'un flagelle sont présentés. Du point de vue de la biologie, ces mécanismes d'activation sont présents dans le flagelle dans une structure interne, appelée axonème, sous la forme de moteurs moléculaires arrangés en plusieurs rangées.En se basant sur un modèle de ces moteurs issu de la biophysique, deux nouveaux systèmes sont ensuite étudiés. Le premier représente une projection de l'axonème dans laquelle deux rangées de moteurs sont présentes, et est étudié aussi bien théoriquement que numériquement. Le second prend en compte la totalité des rangées de moteurs dans l'axonème, son comportement est illustré par des simulations numériques.

The mathematics associated with swimming at the microscopic scale has been an active research area for about fifteen years, with numerous applications in biology and physics. Indeed, microorganisms moving in water play a crucial role in the origin and maintenance of life, and the physical principles governing their movements differ greatly from those that govern human swimming. Research in this field can also be applied to the design of micro-robots, paving the way for innovative applications in medicine, such as non-invasive surgery.This thesis deals with the study of such microorganisms in a context where inertial forces are negligible compared to viscous forces in the surrounding fluid, a phenomenon characterized by a low Reynolds number.The first two parts present new mathematical models of swimmers, composed of active arms, spheres, and passive springs. These models circumvent Purcell's scallop theorem, which states that a swimmer doing a reciprocal stroke cannot move, as it always returns to its initial position in the absence of inertia. The first model developed in this thesis is a four-sphere swimmer with two passive elastic arms. By varying the oscillation frequency of the active arm, the direction of the swimmer’s displacement can be changed, making the system controllable with only one active degree of freedom. The model studied in the second chapter involves a large number of springs. A limiting model of this swimmer, where the number of springs tends to infinity, was then considered, transforming the swimmer into an elastic tail that compresses and extends along one single dimension.In the third chapter, a proof of the convergence and well-posedness of a discrete model of an elastic microfilament at low Reynolds numbers is presented. This model consists of N rigid filaments immersed in a fluid, studied in 3D and whose movement is in two dimensions.Finally, in the last chapter, models of activation mechanisms along a flagellum are introduced. Biologically, these activation mechanisms exist in the flagellum in an internal structure called the axoneme, in the form of molecular motors arranged in several rows. Based on a model of these motors from biophysics, two new systems are then studied. The first one represents a projection of the axoneme with two rows of motors and is analyzed both theoretically and numerically. The second one takes into account all rows of motors in the axoneme; its behavior is illustrated by numerical simulations.