Méthode de Stein pour les lois d'extremum

Stein's method for extreme value distributions

• Auteur / Autrice : Bruno Costacèque-Cecchi
• Direction : Laurent Decreusefond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 12/12/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....) - Laboratoire de Traitement et Communication de l'Information
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement opérateur d'inscription : Télécom Paris (Palaiseau, Essonne ; 1878-....)
• Jury : Président / Présidente : Laure Coutin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laure Coutin, Giovanni Peccati, Nicolas Privault, Caroline Hillairet, Philippe Naveau
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Giovanni Peccati, Nicolas Privault

Mots clés

Mots clés contrôlés

Markov, Processus de

Valeurs extrêmes, Théorie des

Stein, Variétés de

Mots clés libres

Théorie des valeurs extrêmes

Méthode de Stein

Approche par générateur

Processus de Markov

Processus de Poisson

Inegalités fonctionnelles

Cônes convexes

Extreme value theory

Stein's method

Generator approach

Markov processes

Poisson processes

Functional inequalities

Convex cones

Résumé

La théorie des valeurs extrêmes étudie la probabilité de survenance d'événements extrêmes, tels les inondations, les sécheresses ou encore les crises financières. Une part importante de cette théorie repose sur les théorèmes limites, comme celui des valeurs extrêmes, ou de Pickands-Balkema-de Haan. Afin d'appliquer ces théorèmes avec précision et approcher raisonnablement la loi des données extrêmes, inconnue en général, par son modèle limite, il faut pouvoir quantifier la vitesse de convergence de ces théorèmes. Une façon de faire est d'utiliser l'approche par générateur de la méthode de Stein. Aussi, dans cette thèse nous introduisons et étudions une famille de semi-groupes de Markov spécialement construits pour admettre les lois d'extremum comme mesure invariante. Pour ce faire, la définition choisie repose sur une formule de Mehler, elle-même conséquence des relations de stabilité satisfaites par les lois max-stables. L'avantage principal de cette construction est que les semi-groupes ainsi définis disposent automatiquement de propriétés similaires à celles du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck (propriété de commutation, inégalité de Poincaré, identités de covariance, etc.). Nous appliquons ensuite ces résultats à l'obtention de bornes générales sur les distance à une loi d'extremum, puis nous spécialisons ces bornes dans différents contextes pour obtenir des taux explicites. Enfin le dernier chapitre porte sur les processus de Poisson dont la mesure intensité satisfait une propriété d'homogénéité. Nous étudions comment les propriétés bien connues de ces processus se traduisent en nouveaux résultats pour les lois max-stables, éclairant ainsi d'une autre manière le contenu des chapitres précédents.

Extreme value theory deals with the probability of occurrence of extreme events, such as floods, droughts or financial crises. An important part of that theory relies on limit theorems, such as the extreme value theorem, or the Pickands-Balkeman-de Hann theorem. In order to apply those theorems accurately and approximate efficiently the usually unknown distribution of the extreme data by its limit model, one needs to quantify the speed of convergence of those theorems. A manner of doing so is to use the generator approach of Stein's method. That is why in this thesis we construct a family of Markov semi-groups whose invariant measure is an extreme-value distribution. We do so via a Mehler's formula, which relies itself on the stability property satisfied by max-stable distributions. Thanks to this definition, the semi-groups satisfy similar properties to the Ornstein-Uhlenbeck (commutation rule, Poincaré's inequality, covariance identities, etc.). We then proceed to apply those results to the generator approach of Stein's method to deduce rates of convergence to extreme-value distributions in various settings. The last chapter focuses on Poisson processes whose intensity measure satisfies an homogeneity assumption and how their standard properties translate into new results for max-stable distributions, thus shedding a new light on the contents of the previous chapters.