Séries temporelles matricielles en grande dimension

Matrix-valued Time Series in High Dimension

• Auteur / Autrice : Nayel Bettache
• Direction : Cristina Butucea
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/07/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Recherche en Economie et Statistique (Palaiseau ; 1993-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement opérateur d'inscription : École nationale de la statistique et de l'administration économique (Palaiseau ; 1960-....)
• Jury : Président / Présidente : Alexandre B. Tsybakov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandre B. Tsybakov, Christophe Pouet, Farida Enikeeva, Catherine Matias
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Bunea Florentina, Maxim Panov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Factorisation

Matrices aléatoires

Statistique mathématique

Systèmes de grandes dimensions

Séries chronologiques

Mots clés libres

Séries temporelles

Factorisation de matrices

Régression linéaire matricielle

Statistiques en grande dimension

Matrices aléatoires

Topique-Modèles

Time series

Matrix factorisation

Matrix linear regression

High-Dimensional statistics

Random matrices

Topic models

Résumé

L'objectif de cette thèse est de modéliser des séries temporelles à valeurs matricielles dans un cadre de grande dimension. Pour ce faire, la totalité de l'étude est présentée dans un cadre non asymptotique. Nous fournissons d'abord une procédure de test capable de distinguer dans le cas de vecteurs ayant une loi centrée stationnaire si leur matrice de covariance est égale à l'identité ou si elle possède une structure de Toeplitz sparse. Dans un second temps, nous proposons une extension de la régression linéaire matricielle de faible rang à une régression à deux paramètres matriciels qui créent des corrélations entre les lignes et les colonnes des observations. Enfin nous introduisons et estimons un topiques-modèle dynamique où l'espérance des observations est factorisée en une matrice statique et une matrice qui évolue dans le temps suivant un processus autorégressif d'ordre un à valeurs dans un simplexe.

The objective of this thesis is to model matrix-valued time series in a high-dimensional framework. To this end, the entire study is presented in a non-asymptotic framework. We first provide a test procedure capable of distinguishing whether the covariance matrix of centered random vectors with centered stationary distribution is equal to the identity or has a sparse Toeplitz structure. Secondly, we propose an extension of low-rank matrix linear regression to a regression model with two matrix-parameters which create correlations between the rows and he columns of the output random matrix. Finally, we introduce and estimate a dynamic topic model where the expected value of the observations is factorizes into a static matrix and a time-dependent matrix following a simplex-valued auto-regressive process of order one.