Simulation et analyse des équations de Maxwell avec changement de signe dans un plasma froid

Simulation and analysis of sign-changing Maxwell’s equations in cold plasma

• Auteur / Autrice : Etienne Peillon
• Direction : Patrick Ciarlet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 04/04/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées - Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Palaiseau)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau ; 1970 -....)
• Jury : Président / Présidente : Kim Pham
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Ciarlet, Ralf Hiptmair, Martin, Jean Campos Pinto, Simon Labrunie, Claire Scheid
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ralf Hiptmair, Martin, Jean Campos Pinto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Métamatériaux

Maxwell, Équations de

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Métamatériau hyperbolique

Condition de rayonnement

Principe d’absorption limite

EDP dégénérée

Solutions singulières

Résonance lower-Hybrid du plasma

Équations de Maxwell

Hyperbolic metamaterial

Radiation condition

Limiting absorption principle

Degenerate PDE

Singular solutions

Lower-Hybrid plasma resonance

Maxwell's equations

Résumé

De nos jours, les plasmas sont principalement utilisés à des fins industrielles. L'un des exemples les plus fréquemment cités d'utilisation industrielle est la production d'énergie électrique via des réacteurs nucléaires à fusion. Pour contenir le plasma correctement à l'intérieur du réacteur, un champ magnétique est imposé en arrière-plan, et la densité et la température du plasma doivent être précisément contrôlées. Cela est effectué en envoyant des ondes électromagnétiques à des fréquences et dans des directions spécifiques en fonction des caractéristiques du plasma.La première partie de cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude du modèle du plasma avec un fort champ magnétique en arrière-plan, ce qui correspond à un métamatériau hyperbolique. L'objectif est d'étendre les résultats existant en 2D au cas 3D et de dériver une condition de radiation. Nous introduisons une séparation des champs électriques et magnétiques ressemblant à la décomposition TE et TM habituelle, puis nous présentons quelques résultats sur les deux problèmes résultants. Les résultats sont dans un état très partiel et constituent un brouillon approximatif sur le sujet.La deuxième partie étudie l'EDP dégénérée associée aux ondes résonantes « lower-hybrid » dans le plasma. Le problème aux limites associé est bien posé dans un cadre variationnel « naturel ». Cependant, ce cadre n'inclut pas le comportement singulier présenté par les solutions physiques obtenues via le principe d'absorption limite. Ce comportement singulier est important du point de vue physique car il induit le chauffage du plasma mentionné précédemment. Un des résultats clés de cette deuxième partie est la définition d'une notion de saut à travers l'interface à l'intérieur du domaine, ce qui permet de caractériser la décomposition de la solution d'absorption limite en parties régulière et singulière.

Nowadays, plasmas are mainly used for industrial purpose. One of the most frequently cited examples of industrial use is electric energy production via fusion nuclear reactors. Then, in order to contain plasma properly inside the reactor, a background magnetic field is imposed, and the density and temperature of the plasma must be precisely controlled. This is done by sending electromagnetic waves at specific frequencies and directions depending on the characteristics of the plasma.The first part of this PhD thesis consists in the study of the model of plasma in a strong background magnetic field, which corresponds to a hyperbolic metamaterial. The objective is to extend the existing results in 2D to the 3D-case and to derive a radiation condition. We introduce a splitting of the electric and magnetic fields resembling the usual TE and TM decomposition, then, it gives some results on the two resulting problems. The results are in a very partial state, and constitute a rough draft on the subject.The second part consists in the study of the degenerate PDE associated to the lower-hybrid resonant waves in plasma. The associated boundary-value problem is well-posed within a ``natural'' variational framework. However, this framework does not include the singular behavior presented by the physical solutions obtained via the limiting absorption principle. Notice that this singular behavior is important from the physical point of view since it induces the plasma heating mentioned before. One of the key results of this second part is the definition of a notion of weak jump through the interface inside the domain, which allows to characterize the decomposition of the limiting absorption solution into a regular and a singular parts.